导数的概念及其几何意义是近几年高考考查的热点，重在考查导数几何意义的应用，即切线问题，既有选择题、填空题，又可以作为解答题的第一问出现，难度适中．
(2024·新高考Ⅰ卷T13)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________．
[阅读与思考]第1步：求导．
由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2．
第2步：求y＝ex＋x在(0，1)处的切线方程．
故曲线y＝ex＋x在(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1．
第3步：求导，设出曲线y＝ln(x＋1)＋a的切点坐标．
由y＝ln(x＋1)＋a，得y′＝1x
设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点坐标为(x0，ln(x0＋1)＋a)．
第4步：利用切线斜率相等，求出x0．
由两曲线有公切线，得1x0+1
解得x0＝－12
则切点为-1
第5步：由切线重合求a．
切线方程为y－a－ln12＝2x
即y＝2x＋a－ln2＋1．
由切线重合知a－ln2＋1＝1，即a＝ln2．
归纳总结：(1)两曲线y＝f(x)，y＝g(x)在公共点(a，b)处有相同的切线，则满足方程组fa=ga，
(2)求与曲线y＝f(x)，y＝g(x)切点不同的公切线，分别设出切点坐标(x1，f(x1))，(x2，g(x2))，满足方程组f′(x1)＝g′(x2)＝fx1-gx2x
本题源自人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T13，从条件上看，教材原题与高考真题都归结为“两曲线的公切线问题”，考查导数的几何意义及基本运算，属于课程学习情境；两者载体不同，在基本运算方面，高考真题的难度稍高于教材原题．
试题评价：本题考查了导数的几何意义及利用导数求切线方程的方法，着重考查了数学运算和逻辑推理的核心素养，难度中等，完美诠释了教材的本位作用．
附：(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T13)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(2a＋3)x＋1只有一个公共点，求a的值．
第1课时导数的概念及其意义、导数的运算
[考试要求]1．了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数．2．通过函数图象，理解导数的几何意义．3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
考点一导数的概念
1．导数的概念
函数f(x)在x＝x0处瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x
2．导数概念的诠释
(1)增量Δx可以是正数，也可以是负数，但是不可以等于0．Δx→0的意义：Δx与0之间距离要多近有多近，即|Δx→0|可以小于给定的任意小的正数；
(2)当Δx→0时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与ΔyΔx＝f
(3)导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即__________．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬时变化率，即f′(x0)＝limΔx→0
[典例1](人教A版选择性必修第二册P65例2改编)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热．在第xh时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)(0≤x≤8)，若limΔx→0f2+2Δx-f
A．－3℃/h B．3℃/h
C．－6℃/h D．6℃/h
[听课记录]
反思领悟本例中，求在第2h时原油温度的瞬时变化率，实质是求y＝f(x)在x＝2处的导数，即f′(2)＝limΔx→0f2+Δx-f2Δx，它仅与“x0＝2”有关，与Δx无关．因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f(2＋2Δx)－f(2)时，分母也应该是
巩固迁移1(2024·眉山仁寿县期末)已知函数f(x)＝sinx＋4x，则limΔx→0f
A．12 B．6
C．3 D．3
考点二导数的运算
1．基本初等函数的导数
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)
f′(x)＝________