第4课时导数与函数的极值
[考试要求]1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值．3．会利用极值求参数．
考点一根据图象判断极值
函数的极小值：若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)__0，右侧f′(x)__0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
函数的极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)__0，右侧f′(x)__0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为______，极大值、极小值统称为____．
提醒：(1)对于可导函数f(x)，f′(x)＝0是f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，例如，f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．
(2)极值点不是点，而是一个实数，极大值与极小值没有必然联系，极小值可能比极大值还大．
[典例1](2024·西安临潼区二模)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列结论正确的是()
A．y＝f(x)在x＝－1处取得极大值
B．x＝1是函数y＝f(x)的极值点
C．x＝－2是函数y＝f(x)的极小值点
D．函数y＝f(x)在区间(－1，1)上单调递减
[听课记录]
反思领悟由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由导函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
巩固迁移1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
考点二求函数的极值或极值点
求函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x);
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格，检查f′(x)在方程根左、右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得______；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得______；如果左、右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．
[典例2](人教A版选择性必修第二册P91例5改编)设函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex，讨论f(x)的单调性并判断f(x)有无极值，若有极值，求出f(x)的极值．
[听课记录]
反思领悟一般地，当f′(x0)＝0时，若f′(x)在x＝x0两侧符号相反，则函数f(x)在x＝x0处存在极值；若f′(x)在x＝x0两侧符号相同，则函数f(x)在x＝x0处不存在极值．因此，在根据极值条件求参数的值的问题中，应按照函数在这一点取得极值所对应的条件检验每一组解对应的函数在该点是否能取得极值，从而进行取舍．
巩固迁移2(1)若f(x)＝x3－3x的两个极值点为x1，x2，则x1＋x2＝()
A．－1 B．0