培优点10极点、极线
重点解读“极点、极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点、极线是圆锥曲线的一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的是以“极点、极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向.
题型一极点与极线
1.极点与极线的定义
过点P(x0，y0)的动直线交圆锥曲线于A，B两点，过A，B的切线交点的轨迹叫做点P关于圆锥曲线的极线，点P叫做相应于此极线的极点，简称极.
一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它们之间的关系称作一对配极关系.
2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系
如图(1)，若极点P在圆锥曲线外，则相应的极线l与点P的切点弦重合，即相应的极线l是由点P向圆锥曲线所引的两条切线的切点弦所在直线，极线l与圆锥曲线有两个交点；
如图(2)，若极点P在圆锥曲线内，则极线l是圆锥曲线经过点P的弦的两端点处的两条切线交点的轨迹，此时，极线l与圆锥曲线相离，它们无交点；
如图(3)，若极点P在圆锥曲线上，则相应的极线l与在点P处的切线重合，即相应的极线l就是圆锥曲线在点P处的切线，极线l与圆锥曲线有唯一交点.
例1(多选)已知点P是异于原点的一点，则下列关于极线方程的说法中，正确的是()
A.已知点P(x0，y0)和圆C：x2＋y2＝r2，则关于点P的极线方程为x0x＋y0y＝r2
B.已知点P(x0，y0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(
C.对于双曲线x2a2－y2b2＝1，与点P(
D.对于抛物线y2＝2px，若点Pp2
思维升华(1)一般地，若圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，P(x0，y0)是圆外一点(极点)，则过点P(x0，y0)的圆M的切点弦(极线)的方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)从代数角度看，在圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以x0y＋y0x2替换xy，以y0y替换y2，以x0＋x2替换x，以y0
(3)从几何角度看，如图，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH并延长，延长线交于M，则直线MN为点P对应的极线.
若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.
由图同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M对应的极线.因而将△MNP称为自极三角形.
跟踪训练1过椭圆C：x225＋y29＝1内一点M(3，2)，作直线AB与椭圆交于点A，B，作直线CD与椭圆交于点C，D，过A，B分别作椭圆的切线交于点P，过C，D分别作椭圆的切线交于点Q
题型二极点与极线的性质及应用
例2在平面直角坐标系Oxy中，如图所示，已知椭圆x29＋y25＝1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m0，
(1)设动点P满足|PF|2－|PB|2＝4，求点P的轨迹；
(2)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)，并求出该定点的坐标.
思维升华极点、极线的性质：
(1)如图1，设点P关于圆锥曲线Γ的极线为l，过点P任作一割线交Γ于点A，B，交l于点Q，则PAPB＝AQBQ；反之，若PAPB＝AQBQ成立，则点P，
(2)如图2，设点P关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有OR2＝OP·OQ，反之若有此式成立，则点Q为点P关于此圆锥曲线的调和共轭点.
(3)如图3，A，B为圆锥曲线Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上)，若A，B关于Γ调和共轭，过点B任作Γ的一条割线，交Γ于P，Q两点，则∠PAB＝∠QAB.
(4)如图4，已知点Q在圆锥曲线Γ的对称轴上，直线l垂直于该对称轴，过点Q作直线交Γ于点M，N，P为l上任意一点.若点Q与直线l是Γ的一对极点与极线，当对称轴是x轴时，kPM＋kPN＝2kPQ.
(5)如图5，已知点A是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上任一点，极点P(t，0)(|t|a，|t|≠c，t≠0)，相应的极线x＝a2t，椭圆在点A处的切线与极线x＝a2t交于点N，过点N作MN⊥AP于点M，则直线MN
(6)如图6，设圆锥曲线Γ的一个焦点为F，与F相应的准线为l.若过点F的直线与圆锥曲线Γ相交于M，N两点，则Γ在M，N两点处的切线的交点Q在准线l上，且FQ⊥MN；反之，若过准线l上一点Q作圆锥曲线Γ的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过焦点F，且FQ⊥MN.
跟踪训练2(2024·苏州模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P(4，1)的动直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，在线段AB上取点Q，满足|AP||QB|＝|A