重难专攻（六）数列与其他知识的交汇问题
【重点解读】数列与函数、不等式、集合等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、数列不等式的证明等.
提能点1
数列与函数（导数）的交汇问题
在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2bn－2.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn＝bn－an，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn＋n2－n＞log2（1－a）对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围.
规律方法
数列与函数（导数）的综合问题涉及两类题型
（1）以数列为背景研究数列的函数性质，如研究数列的单调性、周期性、最值、不等式恒成立下的参数范围问题等.解决这类问题的关键是以构成数列的函数为载体，结合数列是一类特殊函数（定义域是正整数集或它的有限子集），利用函数的思想方法求解，体现由特殊到一般的转化思想；
（2）以函数为背景知识研究数列问题，如已知函数的性质，求对应数列的通项公式，前n项和或比较最大项（最小项）等问题，解决该类问题的关键是构建符合函数特征的数列，体现由一般到特殊的转化思想.
练1已知在数列{xn}中，x1＝a，xn＋1＝2x
（1）设a＝tanθ（0＜θ＜π2），若x3＜45，求θ
（2）定义在（－1，1）内的函数f（x），对任意x，y∈（－1，1），有f（x）－f（y）＝f（x－y1－xy），若f（a）＝12，试求数列{f
提能点2
数列与不等式的交汇问题
角度1数列与基本不等式的交汇
记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知{Sn－an}是等差数列.
（1）求a1
（2）求最小的正整数m，使得存在数列{an}满足Sm－am2＞
规律方法
求解数列与不等式综合问题的步骤
（1）根据题目条件，求出数列的通项公式；
（2）根据数列项的特征，选择合适的方法（公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等）求和；
（3）利用（2）中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围；
（4）反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤.
提醒解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、利用基本不等式等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
角度2放缩法证明数列不等式
（2025·邢台一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求证：1S1＋1S2＋1S
规律方法
与数列有关的不等式的证明问题，一般采用放缩法进行证明，其大致可分为两类：
（1）先求和再放缩：对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式；
（2）先放缩再求和：若不易求和，可根据项的特征先放缩再求和，常见的放缩技巧如下：
①对1n2的放缩（下列n∈N
1n2＜1n2－n＝1n
1n2＜1n2－1＝12（1n
1n2＝44n2＜44n2－1＝2
②对12n的放缩（下列n∈N
12n＞1n＋n+1＝n+1
12n＜1n＋n－1＝n
③对12n－1的放缩（下列n
12n－1＜12
12n－1＜2n（n+1）
练2（2025·辽阳一模）已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1＋2.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝1an＋1an2，证明：b1＋b2＋…＋
提能点3
数列与集合的交汇问题
（2025·连云港阶段性调研）记an为数列{bn}的前n项积，已知1bn＋2an
（1）证明：数列{an}是等差数列；
（2）若将集合{x｜x＝an，n∈N*}∪{x｜x＝3an－52，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，c4，…，求数列{cn}的前4n
规律方法
数列与集合的综合问题的实质是研究以等差（比）数列为载体，结合集合的概念或运算而衍生出的新数列问题，是近几年新高考下的创新题型，即已知数列{an}的项组成集合A，数列{bn}的项组成集合B，数列{cn}的项组成集合C，在规定了数列{cn}的排序规则前提下，（1）若A∩B＝C，则c1，c2，…，ck为数列{an}，{bn}的公共项数列；（2）若A∪B＝C，则c1，c2，…，ck为数列{an}，{bn}的并项数列；（3）若满足C?A，则{cn}为{an}的有序子数列；（4）同时还可按照某种递推关系cn＝an＋bn及不等关系，求集合C中元素的个数等.
练3（2025·新乡模拟）设集合W由满足下列两个条件的数列{an}构成：①an＋an+22＜an＋1；②存在实数M，使an
（1）在只有5项的有限数列{an}，{bn}