2025年线性代数自学考试冲刺试题（含易错题型与思维导图）
一、行列式与矩阵
要求：熟练掌握行列式的性质和计算方法，以及矩阵的基本运算。
1.设三阶行列式$\left|\begin{matrix}123\\456\\789\end{matrix}\right|$，求其值。
2.设矩阵$A=\left[\begin{matrix}12\\34\end{matrix}\right]$，求矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$。
二、线性方程组
要求：掌握线性方程组的解法，包括高斯消元法、克莱姆法则等。
3.解线性方程组$\left\{\begin{matrix}2x+3y=8\\4x-5y=2\end{matrix}\right.$。
4.解线性方程组$\left\{\begin{matrix}2x+y-z=1\\x-2y+2z=3\\3x+y-z=2\end{matrix}\right.$。
三、特征值与特征向量
要求：了解特征值和特征向量的概念，掌握特征值和特征向量的计算方法。
5.设矩阵$B=\left[\begin{matrix}4-1\\-14\end{matrix}\right]$，求矩阵$B$的特征值和特征向量。
6.设矩阵$C=\left[\begin{matrix}21\\12\end{matrix}\right]$，求矩阵$C$的特征值和特征向量。
四、二次型与矩阵
要求：掌握二次型的概念，能够将二次型化为标准形，并求出其正负惯性指数。
7.将二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2-4x_3^2+2x_1x_3$化为标准形，并求出其正负惯性指数。
8.设二次型$g(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+4x_2^2-2x_1x_2-6x_1x_3+4x_2x_3$，求出其矩阵$\boldsymbol{A}$，并判断二次型的正负惯性指数。
五、向量空间
要求：理解向量空间的概念，掌握向量空间的性质，能够判断给定的集合是否构成向量空间。
9.设$\boldsymbol{V}$是由向量$\boldsymbol{v}_1=(1,2,1)$和$\boldsymbol{v}_2=(2,1,3)$生成的向量空间，判断向量$\boldsymbol{v}_3=(1,3,2)$是否属于$\boldsymbol{V}$。
10.设$\boldsymbol{W}$是由向量$\boldsymbol{w}_1=(1,0,1)$和$\boldsymbol{w}_2=(0,1,0)$生成的向量空间，判断集合$\{\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\boldsymbol{w}_1+\boldsymbol{w}_2\}$是否构成向量空间。
六、矩阵的对角化
要求：掌握矩阵对角化的概念，能够判断矩阵是否可对角化，并求出其特征值和特征向量。
11.设矩阵$\boldsymbol{D}=\left[\begin{matrix}100\\020\\003\end{matrix}\right]$，判断矩阵$\boldsymbol{D}$是否可对角化，如果可对角化，求出其特征值和特征向量。
12.设矩阵$\boldsymbol{E}=\left[\begin{matrix}421\\242\\124\end{matrix}\right]$，判断矩阵$\boldsymbol{E}$是否可对角化，如果可对角化，求出其特征值和特征向量。
本次试卷答案如下：
一、行列式与矩阵
1.解析：利用行列式的展开定理，沿第一行展开，得：
$$\left|\begin{matrix}123\\456\\789\end{matrix}\right|=1\cdot\left|\begin{matrix}56\\89\end{matrix}\right|-2\cdot\left|\begin{matrix}46\\79\end{matrix}\right|+3\cdot\left|\begin{matrix}45\\78\end{matrix}\right|$$
计算得：
$$=1\c