2025年线性代数期末考试试卷（含线性代数在虚拟现实中的应用解析）
一、线性方程组的求解
要求：求解以下线性方程组，并说明解题过程。
1.3x1+2x2-x3=4
2x1-5x2+4x3=3
x1+3x2-2x3=2
2.2x1-x2+3x3=1
x1+2x2-4x3=3
3x1-2x2+5x3=2
3.x1+x2+2x3=1
2x1-x2+4x3=2
-x1+3x2-x3=3
二、矩阵的运算
要求：对下列矩阵进行运算，并说明解题过程。
1.矩阵A的转置：
A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}
2.矩阵B的逆矩阵：
B=\begin{bmatrix}23\\45\end{bmatrix}
3.矩阵C的伴随矩阵：
C=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}
三、线性变换与特征值、特征向量
要求：对下列线性变换进行求解，并说明解题过程。
1.设线性变换T:R^2→R^2，定义T(x,y)=(2x-y,3x+4y)，求T的特征值和特征向量。
2.设线性变换S:R^3→R^3，定义S(x,y,z)=(2x+y+z,x-2y-z,x+3y-2z)，求S的特征值和特征向量。
3.设线性变换L:R^4→R^4，定义L(x1,x2,x3,x4)=(2x1-x2+x3-x4,x1+2x2-x3+2x4,-x1+x2+3x3-4x4,x1-2x2+4x3-5x4)，求L的特征值和特征向量。
四、向量空间与线性相关性
要求：判断下列向量组是否线性相关，并给出证明。
1.向量组\(\{\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix},\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix}\}\)
2.向量组\(\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\}\)
3.向量组\(\{\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}3\\4\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\3\\1\end{bmatrix}\}\)
4.向量组\(\{\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\2\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}3\\3\\3\end{bmatrix}\}\)
五、二次型与正定矩阵
要求：判断下列二次型是否为正定二次型，并给出证明。
1.二次型\(f(x,y,z)=x^2+2xy+3y^2+2xz+4yz+5z^2\)
2.二次型\(f(x,y,z)=-x^2+2xy-y^2+2xz-2yz+z^2\)
3.二次型\(f(x,y,z)=x^2+4xy+9y^2+4xz+2yz+5z^2\)
4.二次型\(f(x,y,z)=-x^2-4xy-9y^2-4xz-2yz+z^2\)
六、线性代数在虚拟现实中的应用
要求：解释线性代数在虚拟现实技术中的两种应用，并说明其重要性。
1.3D模型的旋转与缩放
2.虚拟场景中的光影效果处理
3.3D空间中的碰撞检测
4.虚拟现实中的用户输入处理
本次试卷答案如下：
一、线性方程组的求解
1.解线性方程组：
\[
\begin{cases}
3x_1+2x_2-x_3=4\\
2x_1-5x_2+4x_3=3\\
x_1+3x_2-2x_3=2
\end{cases}
\]
解析思路：使用高斯消元法，将