第7课时向量法求空间角(二)
[考试要求]1．能用向量法解决平面与平面的夹角问题，体会向量法在研究空间角问题中的作用．2．弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题．
考点一平面与平面的夹角
平面与平面的夹角：如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的____．
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝n1
提醒：二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是0，
[典例1](2024·北京卷节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2．
若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
[听课记录]
反思领悟建系后分别求出二面角的两个半平面所在平面PAB和平面PCD的法向量，然后利用法向量n1和n2的夹角得到二面角的余弦值的大小．但要注意，结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角，如果题干是夹角，则一定是锐角或直角．
巩固迁移1如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A-EF-A1的正弦值．
考点二折叠问题与空间角
[典例2](2025·武汉模拟)已知图1是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE组成的一个平面图形，其中菱形边长为4，∠A＝90°，∠D＝60°．将△ABE沿BE折起，使得平面A1BE⊥平面BCDE(如图2)．
(1)求证：A1C⊥CD；
(2)求二面角B-A1C-D的正弦值．
[听课记录]
反思领悟三步解决平面图形的折叠问题
巩固迁移2(2025·眉山模拟)如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1-ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．
设F为CD1的中点，若M为线段AB上的一点，满足AM＝14
(1)求证：MF∥平面D1AE；
(2)求平面D1MF与平面ABE夹角的余弦值．
1．在三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝π3，则二面角A-BD-C的大小为(
A．π3 B
C．π3或2π3 D．
2．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()
A．π4 B
C．π4或3π4 D．
3．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面PAB与平面PCD夹角的大小为________．