第4课时直线与圆、圆与圆的位置关系
[考试要求]1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
考点一直线与圆的位置关系的判定
设圆O的半径为r(r0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：
位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ__0
Δ__0
Δ__0
几何观点
d__r
d__r
d__r
常见问题
最值问题
切线问题
弦长问题
[常用结论]
圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．如图1．
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2．如图2．
直线与圆位置关系的判断
[典例1](人教A版选择性必修第一册P91例1改编)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
[听课记录]
反思领悟判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(2)几何法：利用圆心到直线的距离与半径的关系．
(3)点与圆的位置关系法(定点法)：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
巩固迁移1已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
切线问题
[典例2]已知点P(2＋1，2－2)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4．
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
[听课记录]
反思领悟(1)本例(1)中，点P在圆上，求圆的切线方程的关键是利用点P与圆心C的连线与切线垂直求切线斜率．
(2)本例(2)中，点M在圆外，求圆的切线方程一般用几何法．当切线斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，利用点到直线的距离公式表示出圆心(1，2)到切线的距离d，然后令d＝r＝2，进而求出切线斜率k．要注意验证斜率不存在的情况．
(3)求切线长，常利用点M、圆心C、切点构成的直角三角形求解．
巩固迁移2(2025·北京市东城区模拟)已知点M(1，3)在圆C：x2＋y2＝m上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为()
A．30° B．60°
C．120° D．150°
弦长问题
[典例3](2024·保定月考)已知直线l：(m－1)x＋2y＋3－m＝0与圆C：x2＋y2－6x＋6y＝0交于A，B两点，则线段AB的长度的取值范围是()
A．[10，32] B．[210，62]
C．[210，42] D．[10，62]
[听课记录]
反思领悟求圆的弦长一般用几何法；若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长|AB|＝2r2-d2．由此可知，本例中，当d＝0，即直线过圆心时，|AB|最长；当PC⊥l时，d最大，
巩固迁移3(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5T3改编)直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的