新高考数学一轮复习
专题突破夕卜接球,内切球、棱切球问题
方法技巧总结
知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.
3、补成长方体
（1）若棱锥的条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.
（2）若棱锥的四个面均是直角角形，则此时可构造长方体，如图2所示.
PA
(3)正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长】=如图3所示.
（4）若棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1图2图3图4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体ABCD的的棱长为Q,将其放入正方体中，则正方体的棱长为巨a,显然正四面体
2
和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R=A?Q=虬,即正四面体外接球半径为R=*q.
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知识点：对棱相等的棱锥外接球
四面体ABCD中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题.
b2+c2=m2
如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,贝ijL2+c2=h2,式相加可得a2+b2+c2=
a2+b2=t2
222
队+/，而显然四面体和长方体有相同的外接球,设外接球半径为R,则tz2+Z72+c2=47?2,所以
知识点四：直棱柱外接球
如图1,图2,图3,直棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意角
形）
第一步：确定球心。的位置，Q是AABC的外心，则OQ_L平面AB。；
第二步：算出小圆Q的半径AOX=r,OOX=^AAl（人耳=。也是圆柱的iWj）;
第步：勾股定理：OA2=O.A2+QO2R2=(-)2+r27?=r2+(-)2解出A
知识点五：直棱锥外接球
如图，R1_L平面ABC,求外接球半径.
解题步骤：
第一步：将AABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD,连接PD,则PD必
过球心O；
第二步：Q为AABC的外心，所以OQ1平面ABC,算出小圆Q的半径QD=r角形的外接圆直
径算法：利用正弦定理，得一-一=一-一=一-一=2尸），OOX——PA；
sinAsingsinC2
第步：利用勾股定理求棱锥的外接球半径：①2.）2=尸疽+2尸）2o2R=+2尸）2；
②V=F+0O；or=』,2+OO；.
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
尸2+//2
1、正棱锥外接球半径：r=
2h
C
2、侧棱相等模型：
如图，户的射影是AABC的外心
—棱锥P-ABC的条侧棱相等
=棱锥P-A