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第二十一讲数理结合类问题
【重点知识精讲和知识拓展】
物理与数学密不可分，应用数学工具解决物理问题的能力是高考考试说明中明确要求的五大能力之一。在近年高考试题中，频繁出现数理结合类高考压轴题，充分说明了数学与物理问题的紧密联系。
命题特点；高考能力题中的数理结合类问题，主要有代数方程思想、不等式思想、递推与归纳思想等。
解题的主要思想方法：解决数理结合类问题，要注重以下三方面：一是正确运用数学语言和数学方法表述物理问题；二是灵活选用合适的数学工具解决物理问题；三是归纳总结得出结论。
1.代数方程思想
代数方程思想是高考物理中最常用的数理结合思想之一。在分析和求解相关物理问题时，根据描述的物理情景和已知条件，根据相关物理规律，从时间关系、空间关系、相关物理量之间的数值关系等方面，列出相关的方程，联立解答。
例1．.（2008·上海物理第23题）如题图所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图。在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场I和II，两电场的边界均是边长为L的正方形（不计电子所受重力）。
题图（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子离开ABCD区域的位置。
题图
（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置。
（3）若将左侧电场II整体水平向右移动L/n（n≥1），仍使电子从ABCD区域左下角D处离开（D不随电场移动），求在电场I区域内由静止释放电子的所有位置。
2.递推归纳思想
递推归纳思想主要是对一些多次重复的多过程问题，即当问题中涉及相互联系的物体较多或过程较多并且有规律时，通过对开始的几个过程分析得出相关数学表达式，找出其规律，再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，归纳出一般规律和物理量表达式，进而利用数学知识得出结果。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.
例2．（2012安徽理综第24题）如图所示，装置的左边是足够长的光滑水平面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着质量M=2kg的小物块A。装置的中间是水平传送带，它与左右两边的台面等高，并能平滑对接。传送带始终以n=2m/s的速度逆时针转动。装置的右边是一光滑的曲面，质量m=1kg的小物块B从其上距水平台面h=1.0m处由静止释放。已知物块B与传送带之间的摩擦因数n=0.2,f=1.0m。设物块A、B中间发生的是对心弹性碰撞，第一次碰撞前物块A静止且处于平衡状态。取g=10m/s2。
求物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小；
通过计算说明物块B与物块A第一次碰撞后能否运动到右边曲面上？
如果物块A、B每次碰撞后，物块A再回到平衡位置时都会立即被锁定，而当他们再次碰撞前锁定被解除，试求出物块B第n次碰撞后运动的速度大小。
vn=m/s。
典例3（2008·四川理综·25）
一倾角为θ＝45°的斜血固定于地面，斜面顶端离地面的高度h0＝1m，斜面底端有一垂直于斜而的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m＝0.09kg的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g＝10m/s2。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？
解析：
设小物块与挡板碰撞前的速度为v，则：
以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为
解得：
设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a/，依牛顿第二定律有
小物块沿斜面向上运动的最大高度为：
解得：；式中
3.不等式思想
所谓不等式思想，是指需要利用不等式来处理相关问题。
典例4.（2009天津理综卷第12题）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。
若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；
黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为Ep=-G(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.710-11N·m2/kg