2025年统计中级资格考试概率与数理统计模拟试题（含详解）
一、选择题
要求：请从下列各题的四个选项中，选择一个最符合题目要求的答案，将所选答案的字母填入题后的括号内。
1.若事件A和事件B相互独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(A∩B)的值为（）。
A.0.12
B.0.2
C.0.24
D.0.06
2.某批产品的次品率为0.2，从这批产品中随机抽取5件，则抽到3件合格品的概率为（）。
A.0.3198
B.0.4186
C.0.2396
D.0.5184
二、填空题
要求：将下列各题中的空白处填写完整。
3.在一次试验中，事件A的概率为0.3，事件B的概率为0.6，且事件A与事件B互斥。则事件A与事件B同时发生的概率为______。
4.设随机变量X服从二项分布B(3，0.2)，则P(X=1)的值为______。
三、解答题
要求：请认真审题，正确解答下列各题。
5.某批产品的质量检验标准为：次品率不超过5%。已知这批产品中每件产品不合格的概率为0.03，且各件产品不合格与否相互独立。问：这批产品至少有3件不合格品的概率是多少？
6.某班共有40名学生，其中男生有25名，女生有15名。现从这40名学生中随机抽取3名学生参加比赛，求：
（1）抽取到的3名学生都是男生的概率；
（2）抽取到的3名学生中至少有1名女生的概率。
四、简答题
要求：请简要回答下列各题。
7.简述互斥事件与独立事件的概念及其区别。
8.简述二项分布的特点及计算公式。
五、计算题
要求：请计算下列各题。
9.已知随机变量X服从正态分布N(50，9)，求P(X≤45)和P(X≥55)的值。
10.设随机变量X～B(10，0.4)，求P(X≤5)的值。
六、应用题
要求：根据下列情况，列出数学模型，并求解。
11.某公司生产一批产品，已知每件产品不合格的概率为0.1。现从这批产品中随机抽取10件进行检验，求：
（1）恰有2件不合格品的概率；
（2）至少有1件不合格品的概率。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.答案：B
解析思路：由于事件A和事件B相互独立，根据概率乘法公式，P(A∩B)=P(A)×P(B)=0.4×0.3=0.12。
2.答案：A
解析思路：使用二项分布的概率公式，P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)，其中n=5，k=3，p=0.8（合格品概率），计算得P(X=3)=C(5,3)×0.8^3×0.2^2=0.3198。
二、填空题
3.答案：0
解析思路：事件A与事件B互斥，即它们不能同时发生，所以P(A∩B)=0。
4.答案：0.064
解析思路：使用二项分布的概率公式，P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)，其中n=3，k=1，p=0.2，计算得P(X=1)=C(3,1)×0.2^1×0.8^2=0.064。
三、解答题
5.答案：0.0123
解析思路：使用二项分布的概率公式，P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)，其中n=10，p=0.03，计算P(X≥3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]，计算得P(X≥3)=0.0123。
6.答案：
（1）P(3男生)=C(25,3)/C(40,3)
（2）P(至少1女生)=1-P(3男生)
解析思路：使用组合数公式计算概率，其中C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
四、简答题
7.答案：
解析思路：互斥事件是指两个事件不能同时发生，即它们的交集为空集。独立事件是指两个事件的发生互不影响，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。二者的区别在于是否可以同时发生以及概率的关系。
8.答案：
解析思路：二项分布的特点是只有两种可能的结果（成功或失败），且每次试验的结果是独立的。计算公式为P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。
五、计算题
9.答案：
解析思路：使用正态分布的累积分布函数（CDF）或查找正态分布表，P(X≤45)=Φ((45-50)/3)≈Φ(-1.67)≈0.0478，P(X≥55)=1-Φ((55-50)/3)≈1-Φ(1.67)≈0.0478。
10.答案：
解析思路：使用二项分布的概率公式，P(X≤5)=P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=5)，计算每个k值的概率并求和。