初中数学竞赛精品原则教程及练习(42)
型如证明
一、内容提纲
型如证明,一般是证明它等价命题
第一种转化为线段比例式
（1）可证和两个同分母分式分别相等,例如
当m＋n=ｐ时等式成立
（2)可证明c,a,ｂ-c，ｂ四条线段成比例，关鍵是作出ｂ-c差
（3）可证明ａ+b,a,ｂ，c四条线段成比例，关鍵是作出a+ｂ和
第二种转化为线段乘积式
bc＋ac=ab（4)
常用两个图形面积和等于另一种图形面积
二、例题
已知:在梯形ABCD中,AB∥ＣD,Ｏ是ＡC和ＢD交点，OE∥AＢ交ＢＣ于有E
求证:
分析:
证明,分别和，相等即可（下略）
已知:在△ABC中,∠AＣB＝１２0,CD是角平分线
求证:
分析一：
延长AC到E，使CE＝ＣＢ，可证△BCE为等边,BE∥CＤ
分析二：=
在CB上截取CE=CD,
可证△CＤE为等边三角形，ＤＥ∥CA
分析三：CA×CD+ＣB×ＣD=CA×ＣＢ
可由S△ＣAＤ＋S△ＣＢD=S△ＣAB证得
证明:∵Ｓ△CAD＋S△ＣＢＤ＝Ｓ△CAB
∴CA×CＤSin∠ACD＋CB×CＤSｉn∠BCD=CA;ｘCBSin∠ＡCB
∵Sin１2０=Ｓｉn60,
∴CＡ×CD＋CＢ×CD=ＣA×CＢ
∴
已知：△AＢC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4
求证：
分析:
在ＡC上取CＤ＝ＢC，证明即可，要发明相似三角形，作角平分线CE，连结DE，得△ACＥ∽△ABC,再证CE＝ＤＥ＝AD
证明:在AC上取CＤ＝BＣ，作角平分线CＥ,连结ＤE
显然△CDE≌△ＣＢE，∠DCＥ＝∠BCＥ=2α
∠CDE＝∠B＝2α,
∵∠Ａ＝α，∴∠DEＡ=α
∴ＣE＝ED=DA
∵△ACE∽△ABC，
∴，,
,
，1-
∴
已知:点C和点D分别内分、外分线段AB为同一种比
即AC∶ＣB＝ＡＤ∶DB＝κ（称C,D调和分割ＡB)
求证:
分析:
=κ
(证明环节是分析倒逆)
如图已知：△ＡBＣ中，BC＝a,高ＡＤ＝h,内接正方形EＦGH边长为m
求证:
分析：hm+am=ah，可用面积公式证
证明:∵Ｓ△AEF＋S梯形EFＧH=S△ABC
∴
即m(h-ｍ)+(ｍ+a）ｍ=ah，mｈ＋ma=ah
两边除以ahｍ,得
三、练习４２
四边形AＢCD中,∠A＝∠C＝Ｒt∠，P是BD上一点，PM⊥ＡB,
PN⊥CD，M，N是垂足,求证:
△ABC中，CD是角平分线,DE∥BC交AC于E,则
通过平行四边形ＡBCＤ顶点Ｄ一直线交BＣ于M,交ＡＢ延长线于Ｎ,求证
已知：△ＡBＣ中,Ｄ，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC
求证：(1∶S△ＢAE)+（1∶S△ＢＥC）=1∶S△BＥD
△ABＣ中,∠Ｃ=6０,角平分线ＣD=t,求证
△ＡBＣ内一点Ｐ,ＰD⊥ＢC，PＥ⊥ＡＣ,PF⊥AＢ，D，E,F是垂足,设a,ｂ,c边上高分别为hａ,hb,hｃ求证
已知2ａ=7b=14c
已知:直线y＝bx+c(ｂ≠0),与抛物线ｙ＝ax2(a≠0）有两个交点，与横轴有一种交点，它们横坐标分别为x1,x2，x3且b2-4aｃ0
求证:
Ｒt△ＡBC斜边上高CD＝ｈ,那么
过△ABC内一点P分别作三边平行线ＤＥ∥BC，FG∥AB，HK∥AC
求证：①
②
11.在等边△AＢＣ外接圆弧上取点P
ＰA交BC于M,求证
PA，ＰB切⊙O于A，B,直线PO交⊙O于M，Ｎ，交AＢ于C
求证
已知半径分别为Ｒ,ｒ⊙Ｏ和⊙O1外切于P，点P到外公切线AB距离为d,则
练习42参照答案:
４．运用等高两个三角形面积比等于它们底比
S△ABＣ＝aｂSinＣ
连结PA,PB,ＰC由……
x1,ｘ2是方程bx+c＝aｘ2两个根，由韦达定理得
且x3是bx+ｃ=0根……
9．射影定理11.用Ｓ△PBM+S△PCM＝S△PBC
1２.AM，AN是△PAＣ内,外角平分线。