培优点8阿基米德三角形
重点解读在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及阿基米德三角形问题，它包含了直线与圆锥曲线相交、相切两种位置关系，聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.
题型一抛物线的切线方程与切点弦方程
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.
例1(1)(多选)下列选项正确的是()
A.过抛物线x2＝2py(p0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＝p(y＋y0)
B.过抛物线x2＝－2py(p0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＝－p(y＋y0)
C.过抛物线y2＝2px(p0)上一点M(x0，y0)的切线方程为y0y＝p(x＋x0)
D.过抛物线y2＝－2px(p0)上一点M(x0，y0)的切线方程为y0y＝－p(x－x0)
(2)过抛物线x2＝2py(p0)外一点C(x0，y0)向抛物线引两条切线，设两切点分别为点A，B，则过点A，B的直线方程为.?
思维升华在圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以y0y替换y2，以x0＋x2替换x，以y
跟踪训练1已知曲线C：y＝x22，D为直线y＝－12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点
题型二阿基米德三角形的性质
例2(多选)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q，则下列说法中正确的是()
A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆
B.若M为弦AB的中点，则MQ与x轴平行(或重合)
C.若弦AB过抛物线的焦点，则点Q在抛物线的准线上
D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点，M为弦AB的中点，则该三角形的面积最小值为2p
思维升华阿基米德三角形的常见性质
(1)阿基米德三角形底边上的中线平行(或重合)于抛物线的对称轴.
(2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点P，则另一顶点C的轨迹为一条直线.
(3)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点C的轨迹为准线，且CA⊥CB，CF⊥AB，阿基米德三角形的面积的最小值为p2.
(4)若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.
(5)底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为a3
(6)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB为阿基米德三角形的底边，则阿基米德三角形顶点C的坐标为y1
推论：阿基米德三角形的顶点C的纵坐标与弦AB的中点M的纵坐标相同，顶点C的横坐标与弦AB与x轴交点D的横坐标互为相反数.
跟踪训练2若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.若直线l的方程为ax＋by＋c＝0，抛物线方程为y2＝2px(p0)，则定点的坐标为.?
答案精析
例1(1)ABC[仅以选项A为例给出证明，同理可证其余三种情形.
方法一设抛物线x2=2py(p0)上一点M(x0，y0)的切线方程为
y-y0=k(x-x0)，
代入x2=2py，整理得
x2-2pkx-2py0+2pkx0=0，
由Δx=0，
得4p2k2+4(2py0-2pkx0)=0，
∴pk2-2x0k+2y0=0，
∵抛物线上一点处的切线唯一，
∴关于k的一元二次方程pk2-2x0k+2y0=0有两个相等的实数根，
∴k=x0
∴所求的切线方程为
y-y0=x0p(x-x
即x0x=x02+py-py
又x02=2py
∴过抛物线x2=2py(p0)上一点M(x0，y0)的切线方程为
x0x=p(y+y0).
方法二y=x22p，y
由导数的几何意义得所求切线的斜率为k=x0
∴所求的切线方程为
y-y0=x0p(x-x
即x0x=x02+py-py
又x02=2py
∴过抛物线x2=2py(p0)上一点M(x0，y0)的切线方程为
x0x=p(y+y0).]
(2)x0x=p(y+y0)
解析设切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)知在点A处的切线方程为x1x=p(y+y1)，在点B处的切线方程为x2x=p(y+y2)，
因为点C(x0，y0)在两条切线上，
所以x
即可认为(x1，y1)，(x2，y2)是x0x=p(y0+y)的两组解，
即A，B在直线x0x=p(y+y0)上，
又因为两点确定一条直线，所以过点A，B的直线方程为x0x=p(y+y0).
跟踪训练10
解析方法一设Dt，?12，A(x1，
则x12=2y
由于y=x，所以切线DA的斜率为x1，故y1+12
整理得2tx1-2y1+1=0.
设B(x2，y2)，
同理可得2tx2-2y2+1=0.
故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.
所以直线