第8课时解三角形及其应用举例
[考试要求]1．能利用解三角形的方法解决平面几何的有关问题及判断三角形的存在问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和计算有关的实际问题．
考点一与多边形有关的问题
[典例1](2024·菏泽牡丹区模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝3π4，S△ABC＝2，∠BAC＝∠DAC，CD＝2AB＝4
(1)求线段BC的长度；
(2)求线段AC的长度；
(3)求sin∠ADC的值．
[听课记录]
反思领悟以多边形为背景的解三角形问题一般把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理求解．如本例就是把四边形ABCD拆分成△ABC和△ACD，并分别在△ABC和△ACD中求得结果．解题过程中要注意寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件．
巩固迁移1(多选)(2024·无锡江阴市月考)如图，△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3(acosC＋ccosA)＝2bsinB，且∠CAB＝π3．若点D在△ABC外，DC＝1，DA＝3，则下列说法中正确的有(
A．∠ACB＝π
B．∠ABC＝π
C．四边形ABCD面积的最大值为532
D．四边形ABCD面积的最大值为52＋2
考点二三角形中的结构不良问题
[典例2](2024·北京卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为钝角，a＝7，sin2B＝37bcosB
(1)求A；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b＝7；
条件②：cosB＝1314
条件③：csinA＝53
[听课记录]
反思领悟解三角形时易忽略隐含条件致误．如本例(2)，若选条件①时，忽略A＋B＋C＝π会导致△ABC存在的错误结果．
巩固迁移2(2025·包头模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinC＝sinAcosB＋22sin(A＋C)
(1)求A；
(2)在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得△ABC唯一确定，当唯一确定时，求边BC上的高h．
条件①：a＝2，sinC＝32
条件②：a＝5，b＝2．
考点三解三角形应用举例
测量中的几个有关术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与
俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ≤360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
坡角与
坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝hl＝tan
[典例3](1)一艘船以32nmile/h的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东45°的方向上，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东75°的方向上，则灯塔S与B之间的距离为()
A．82nmile B．162nmile
C．16nmile D．163nmile
(2