新高考数学一轮复习
专题突破利用几何方法求线线角、线面角、二面角
方法技巧总结
技巧一：二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小是二面角的平面角，
如图在二面角a-1-p的棱上任取一点O,以。为垂足，分别在半平面“和尸内作垂直于棱的射线OA和
OB,则射线Q4和场所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角
相当于求两条异面直线的夹角即可）.
法二：三垂线法
在面q或面内找一合适的点A,作AOLf3于O,过A作ABLc于8,则80为斜线业在面内
的射影，￡450为二面角a-c-p的平面角.如图1,具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点A,作AO1/?于O；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A作ABLc于B,连接与O；
③计算：ZABO为二面角a-c-/3的平面角，在RtAABO中解三角形.
图1图2图3
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法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面
积公式（cos0==‘腴％,如图2）求出二面角的大小；
，斜^aABC
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为
补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面
积法解题.
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，是
二面角的平面角.
技巧二：线与线的夹角
平行直线
共面直线
（1）位置关系的分类：相交直线
，异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
（2）异面直线所成的角
①定义：设。，人是两条异面直线，经过空间任一点O作直线af//a,bf//b，把W与Z/所成的锐角（或
直角）叫做异面直线1与人所成的角（或夹角）.
②范围：（0,-]
2
③求法：平移法：将异面直线Q,人平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形.
技巧三：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角.
②范围：[0,-]
2
③求法：
常规法：过平面外一点8做88上平面u,交平面u于点可；连接AB,则NW即为直线与平
面Q的夹角.接下来在月ZWB中解三角形.即=-=-（其中/即点8到面u的距离,
AB斜线长
可以采用等体积法求々，斜线长即为线段的长度）；
2
题型一:平移法求异面直线成角
【典例1?1】在正三棱柱ABC-A^Q中，AB=AAl,D,E分别是片缶中点，则异面直线g与
AE所成角的余弦值为（）
A.-B.-C.匝D.瓯
5555
【答案】A
【解析】设AB=M=4,取AM的中点Q,的中点AM的中点N,
易知AE//QQ,DB//A.M//QN,
所以异面直线g与AE所成角为KQN或其补角.
由正三棱柱的几何特征可得AQLAN^QLA.C,,CC^CN.
0V=J2+础2=必+12=$,
qg=Jaq2+（AG）2=2打，
CM=4