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2025年全国高考天津市数学真题试卷（含答案）
第Ⅰ卷
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集,则?（???）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的图象如图所示，则其解析式可能为（???）
A． B． C． D．
4．已知为直线，为平面，则下列说法正确的是（???）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．已知r为相关系数，则下列说法错误的是（???）
A．若随机变量则
B．若随机变量
C．若越趋近于1，则线性相关程度越强
D．若越趋近于0，则线性相关程度越弱
6．已知数列的前n项和为，且，则的前12项和为（???）
A．112 B．48 C．80 D．64
7．已知函数，则该函数的零点落在以下哪个区间内（???）
A． B． C． D．
8．已知函数在上单调递增，为一条对称轴，为一个对称中心，则在区间内，的最小值为（???）
A． B． C． D．0
9．已知双曲线的左右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若则双曲线的离心率为（???）
A．2 B．5 C． D．
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10．i为虚数单位，则_______．
11．在的展开式中，的系数为______．
12．已知直线与轴交于点A，与轴交于点B，与圆（r＞0）交于C，D两点．若，则______．
13．某同学每周在操场跑圈2次，一次跑5圈或6圈．
已知：该同学第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，
若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6；
若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率0.4，
（i）该同学一周跑11圈的概率为_______．
（ii）若该同学一周至少跑11圈为运动量达标，连续跑4圈，记达标的周数为随机变量，则的期望______．
14．在中，为边的中点，．记，，则用表示为_______，若，且，则______．
15．已知，若对任意的，恒成立，则的最小值为．
三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求c的值；
（Ⅲ）求的值．
17．（本小题满分15分）
如图，在棱长为4的正方体中，点分别为的中点，点G在棱上，且有．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
18．（本小题满分15分）
已知椭圆（）的左焦点为，右顶点为为直线上一点，且直线的斜率为，的面积为，椭圆离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆有唯一的公共点（），求证：直线平分.
19．（本小题满分15分）
已知为等差数列，为公比不为0的等比数列，且，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的，有，．
（i）求证：对中的任意元素，有；
（ii）求中所有元素之和．
20．（本小题满分16分）
已知，函数．
（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）已知有3个零点，且．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意，得,所以．故选D．
2．【答案】A
【详解】由,则充分性成立；又当时，，可知，则必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．
3．【答案】D
【详解】由图象知，函数为偶函数，排除A、B；又，排除C，故选D．
4．【答案】C
【详解】对于A，若，则直线与可能平行，也可能垂直，还可能异面，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，若，则直线与平面可能垂直，也可能平行还可能在平面内，故D错误．故选C．
5．【答案】B
【详解】对于A，由知，该正态分布曲线关于直线对称，所以，故A正确；
对于B，由知，该正态分布曲线关于直线对称，所以，故B错误；
对于C和D，样本相关系数的取值范围为当越接近于1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近于0时，成对样本数据的线性相关程