陕西省安康市高新中学，安康中学高新分校联考2025届高三临门一卷数学试题
一、单选题
1．集合则（????）
A． B． C． D．
2．函数的最大值和最小正周期分别是（???）
A．2， B．1， C．1， D．2，
3．已知（为虚数单位），若为纯虚数，则（????）
A． B． C．2 D．
4．已知点，向量，向量，且，则（????）
A． B． C． D．
5．若双曲线过点，则其渐近线方程为（????）
A． B．
C． D．
6．如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（????）
A． B．
C． D．
7．在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（???）
A． B． C．4 D．8
8．已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（???）
A．
B．若，则点的坐标为
C．的最小值为
D．满足面积为的点有3个
10．若定义在上的函数同时满足：①；②对，成立；③对，，，成立；则称为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（????）
A．，是“正方和谐函数”
B．若为“正方和谐函数”，则
C．若为“正方和谐函数”，则在上是增函数
D．若为“正方和谐函数”，则对，成立
11．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式
由此可以判断下列各式正确的是（????）．
A．（i是虚数单位） B．（i是虚数单位）
C． D．
三、填空题
12．已知函数若，则m的取值范围是．
13．箱子中有大小相同的6个小球，分别标有数字1，1，2，2，3，甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得1分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分.经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是.
14．已知为平面内一定点且，平面内的动点满足：存在实数，使，若点的轨迹为平面图形，则的面积为.
四、解答题
15．人工智能（英语：ArtificialIntelligence，缩写为AI）亦称智械，机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．为了了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表：
关注
不关注
合计
男生
55
60
女生
合计
75
（1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对AI的关注与性别有关？
（2）为了激发同学们对AI的关注，某班级举办了一次AI闯关PK，甲，乙两名选手参加PK赛，比赛共有道题目，其中甲，乙水平相当，他们分别答对每道题的概率均为，两人各自分开答题，答对一题得1分，否则不得分．答题结束后得分较高者获胜，得分相同视为平局．
（ⅰ）已知，，且已知比赛结束后甲，乙得分之和为奇数．假设甲，乙得分之差的绝对值为，求的分布列及数学期望；
（ⅱ）由于甲选手较为自负，甲决定放弃第一题的作答．若最终乙获胜的概率为，求的值．
附：
0.1
0.05
0.01
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
16．在数列中，，.
（1）证明：数列是等差数列.
（2）求的通项公式.
（3）若，求数列的前项和.
17．设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，讨论的单调性．
18．已知椭圆的离心率为，且过点为坐标原点,为椭圆的右顶点．
（1）求的方程；
（2）过点斜率为的直线交椭圆于另一点，求的面积；
（3）在（2）的条件下，若点为椭圆上不与点重合的点，且的面积与的面积相等，求点的坐标．
19．三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理．
（1）证明三余弦定理；
（2）如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值；
（3）已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：．
参考答案
1．【答案】A
【详解】
故选A.
2．【答案】C
【详解】函数，
当，即时，取最大为1，
所以函数取最大值为，
，所以函数的周期为.
故选C.
3．【答案】D
【详解】，
因为为纯虚数，所以且，即，
所以，则，
故选D．
4．【答案】D
【详解】设，因为向量，，
则，
，
因为，所以，解得，∴.
故.
故选D.
5．【答案】D
【详解】因为双曲线过点，