辽宁省点石联考2025届高三下学期5月联合考试数学试题
一、单选题
1．已知复数z满足，则（???）
A．-1 B． C． D．2i
2．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
3．某市移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛．若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（???）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差
4．已知锐角θ满足，则（???）
A． B． C． D．
5．圆与圆的公切线条数为（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知函数和，其中，的最大值为3，若与的图象在区间上恰有一个交点，则k的值可以为（???）
A．1 B． C． D．
7．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，且，则当取得最小值时，（???）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．已知正三棱柱的表面积为，则当其体积取得最大值时，该三棱柱上下两底面之间的距离为（???）
A．3 B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，则（???）
A． B． C． D．
10．已知点，均在抛物线C：上，F是C的焦点，则下列说法正确的是（????）
A． B．直线轴
C．若，则 D．若，则
11．设函数，，以下说法正确的是（???）
A．图象的对称中心为
B．若，图象的对称轴为直线
C．若，有且仅有一个零点
D．若，则与的图象有且仅有两个交点
三、填空题
12．已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则
13．已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是．
14．在一个玩数米粒的游戏中，甲?乙?丙?丁四人每人各有一个罐子，每轮游戏都从米缸中分若干次数米粒放入自己的罐子中．第一轮：甲数了1粒，接着乙数了2?3粒，接着丙数了4?5?6粒，接着丁数了7?8?9?10粒；第二轮甲接着数了11?12?13?14?15粒，依次循环，直到某人某次数了1000粒，游戏结束．在第二轮游戏完成时，丁的罐子里一共有粒米粒；游戏结束时，是进行到第轮游戏．
四、解答题
15．设锐角的内角的对边分别是，．
（1）求C；
（2）若，，求的值．
16．如图，在梯形中，，，，，，点E满足，将沿翻折至，连接，，使得．
（1）证明：；
（2）设，中点分别为M，N，求平面与平面夹角的正弦值．
17．一款热销的电子产品是由两种零配件（零配件1和零配件2）组装而成．只要其中一种零配件不合格，则组装出的成品一定不合格；如果两种零配件均合格，组装出的成品也不一定合格．对于不合格的成品，只能报废．已知两种零配件和成品的次品率如表所示（单价和成本单位为元）．
零配件1
零配件2
成品
不合格品
次品率
购买单价
检测成本
次品率
购买单价
检测成本
两种零配件均合格时的次品率
装配成本
检测成本
市场售价
退货运费
4元
2元
18元
3元
6元
3元
56元
6元
为争取收益最大化，企业需要做出决策：①对零配件（零配件1或零配件2）是否进行检测．如果对某种零配件不检测，这种零配件将直接进入到组装环节；否则将检测出的不合格零配件丢弃．如果其中一个零配件检测为合格品，另一个为不合格品，则不能组装为成品，这种情况中的合格品会用于下一套成品组装，因此相关费用此处不予考虑，只考虑不合格品的相关支出即可．②对组装好的每一件成品是否进行检测．如果不检测，组装后的成品直接进入市场；否则只有检测合格的成品进入市场，对检测出的不合格成品直接丢弃．对用户购买的不合格品，企业将无条件予以退货，并承担运费，且将退回的不合格品丢弃．
（1）如果不进行任何检测，求生产出的成品中的次品率；
（2）如果全部不检测，求每个单件产品的预期收益；
（3）如果对零配件1、零配件2和成品全部进行检测，求每个单件产品的企业预期收益．
18．已知椭圆的离心率为，长轴长为，上顶点为C，右焦点为F．
（1）求的标准方程；
（2）过C作直线，分别交于A，B两点，交x轴于D，E两点，其中，在的两侧，且．设直线，斜率分别为，，求；
（3）在第（2）问的基础上证明：直线过定点．
19．若两个集合M，N满足：，，且，，则称M，N互为对偶集．已知函数，定义，．
（1）若，，，证明：；
（2）证明：存在，使得无论t取何值，与均互为对偶集；
（3）若，求b的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由可得，
则．
故选D
2．【答案】D
【详解】因为，故.
故选D.
3．【答案】C
【详解】因为19位同学的积分的中位数是第10名，所以知道中位数即可判断是否在前10．
故选C
4．【答案】D
【详解】由题意可得，解得或（舍去）．
方法一：故．
方法二：此时