高级中学名校试卷
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天津市南开区2025届高三二模数学试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，所以．
故选：B
2.已知，则“”是“”的（）．
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，即，，解得或；
故当时，可以推出；当，推不出；
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3.函数的部分图象大致为（）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】的定义域为，
则，
所以为奇函数，故排除BC，
令，则或，
则或，解得：或，
所以当时，的最小为1，
则，故A错误，D正确.
故选：D.
4.已知，则（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由
，，
所以满足，
故选：C.
5.某中学三个不同选课组合的学生在一次高三质量监测的数学平均分分别为，若按不同选课组合采用分层抽样的方法抽取了一个120人的样本，抽到三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60，则估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60，
所以三个不同选课组合的学生的人数的比列分别为：，
所以估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为.
故选：C.
6.函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由图可得：
周期，所以，
代入最低点得：，
可得：，解得，
所以有，
再由，解得，
故函数的增区间为，
故选：A.
7.若数列满足，且则的前2025项的和为（）．
A.1350 B.1352 C.2025 D.2026
【答案】B
【解析】由题意可得，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，，
所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列，
则.
故选：B
8.已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意如图：
点，其中一条渐近线为即，
所以的最小值为点到直线的距离，
所以，
因为为直角三角形，所以，
在中，，
即，
∵，∴，∴，
即的离心率为，
故选：D.
9.如图所示，体积为的半圆柱的轴截面为平面是圆柱底面的直径，为底面的圆心，为一条母线，点为棱的中点，且和的弧长为．则三棱锥的体积为（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设中点为，中点为，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图：
由题：，
又弧长为，所以，
所以，
设平面的法向量为，则
即，令，则，取，
则E到面距离为，
又，
所以三棱锥的体积为，
故选：C.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10.是虚数单位，若复数满足，则_____．
【答案】
【解析】∵，
∴，
故答案为：.
11.在的展开式中，的系数为_____．
【答案】15
【解析】展开式通项公式为，
令，解得，
，故的系数为15.
故答案为：15
12.已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为_____．
【答案】
【解析】因为抛物线的焦点为，
所以，解得，则抛物线，
直线的方程为，由，
则，显然，
所以，故，
所以以为直径的圆的圆心的纵坐标为，半径为，
故以为直径的圆被轴截得的弦长为.
故答案为：
13.甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为_____；若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为_____．
【答案】①.②.
【解析】设事件表示“从甲袋中取到红球”，事件表示“从乙袋中取到红球”，
甲袋中有个红球，个球，所以；
乙袋中有个红球，个球，所以.
因为从甲、乙两袋中取球相互独立，所以“都取到红球”即与同时发生，
根据相互独立事件的概率乘法公式可得.
设事件表示“两球颜色不同”，事件表示“乙袋中取出黄球”.
先求：两球颜色不同有“甲红乙黄”和“甲黄乙红”两种情况.
“甲红乙黄”的概率；
“甲黄乙红”的概率.
根据互斥事件概率加法公式，.
“两球颜色不同且乙袋中取出黄球”即“甲红乙黄”，
.
根据条件概率公式，可得