高级中学名校试卷
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上海市金山区2024届高三二模数学试题
一、填空题
1.已知集合，，则___________．
【答案】
【解析】由，故.
故答案为：.
2.已知向量，，若，则实数的值为___________．
【答案】
【解析】因为，
所以，解得.故答案为：.
3.函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】由题设，
所以此函数的定义域为．故答案为：
4.已知复数满足，则的模为___________．
【答案】
【解析】设，则，
由，得，
则，解得，所以，
所以.故答案为：
5.设公比为2的等比数列的前项和为，若，则___________．
【答案】
【解析】因为，
所以，故.
故答案为：4
6.如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.
【答案】10
【解析】因为长方体的体积为120，
所以，
因为为的中点，所以，
由长方体的性质知底面，
所以是三棱锥的底面上的高，
所以三棱锥的体积.
7.设()，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为___________．
【答案】
【解析】函数是奇函数，则恒成立，
而不恒为0，因此，，求导得，则，
而，
所以曲线在点处切线方程为.
故答案为：
8.已知双曲线(,),给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是___________．
【答案】
【解析】根据双曲线的对称性可得，两点一定在双曲线上，
若在双曲线上，
则，方程组无解，故不在双曲线上，
则在双曲线上，
则，解得，
所以双曲线的离心率.故答案为：.
9.为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表：
药物
疾病
合计
未患病
患病
服用
50
未服用
50
合计
80
20
100
取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则()的最小值为___________．
(参考公式：；参考值：）
【答案】
【解析】由题意可知，
则，
解得或，而，
故m的最小值为44.故答案为：44.
10.在的展开式中，记项的系数为，则___________．
【答案】
【解析】展开式的通项公式为，
所以，则.故答案为：40
11.某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为___________m．(结果精确到1m)
【答案】
【解析】作交于E，由题意可得如图：
，
所以，
，
在中，由正弦定理可得：
，
所以，
所以，
，
在直角中，，
故答案为：475.
12.已知平面向量、、满足：，，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】因，由可得，
即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，
又由可得，不妨设，
则，，于是，
因，则，因，当且仅当时，等号成立，即当时，取得最小值.故答案为：.
二、选择题
13.若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（）．
A.2 B.3 C.4 D.8
【答案】D
【解析】由题意知，（）的焦点为，
的右顶点为，
所以，解得.故选：D
14.下列说法不正确的是（）．
A.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
B.若随机变量服从正态分布，且，则
C.若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高
D.对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
【答案】A
【解析】对A：因为，所以第百分位数为,A错误；
对B：若随机变量服从正态分布，且，
则，
则，B正确；
对C：若线性相关系数越接近，
则两个变量的线性相关性越强，C正确；
对于D，样本点的中心为，所以，，
因为满足线性回归方程，所以，
所以，D正确.
故选：A
15.如图，点为正方形的中心，△为正三角形,平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是（）．
A. B.
C.A、、三点共线 D.直线与相交
【答案】D
【解析】取中点F，连接,取中点H，连接.
又△为正三角形，则，，
又平面⊥平面，平面平面，
则平面，平面，
又平面，平面，
则，，
设，则,
则，
则.故选项A判断错误；
假设，
又，，平面，
则平面，又平面，则，
这与矛盾，故假设不成立，不互相垂直.故选项B判断错误；
由平面，可得直线平面，
假设A、、三点共线，则，则平面，
这与平面矛盾，故假设不成立.故选项C判断错误；
由，可得，，
则四边形为梯形，则直线与相交.故选项D判断正确.故选：D.
16.设，有如下两个命题：
①函数的