2025年统计中级资格考试真题演练：概率与数理统计基础理论详解试卷
一、选择题
要求：在下列各题的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母填写在题后的括号内。
1.在一次试验中，事件A发生的概率为0.4，则事件A不发生的概率为（）。
A.0.6
B.0.4
C.1
D.0
2.下列哪一个数列是正态分布的随机变量（）。
A.等差数列
B.等比数列
C.偶数数列
D.奇数数列
二、填空题
要求：将正确答案填写在题后的括号内。
3.设事件A的概率为0.2，事件B的概率为0.3，且事件A与事件B相互独立，则事件A和B同时发生的概率为（）。
4.若随机变量X服从正态分布，其均值为μ，标准差为σ，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)的值约为（）。
三、简答题
要求：简述以下概念的定义和性质。
5.简述概率分布函数的定义和性质。
6.简述随机变量的期望的定义和性质。
四、计算题
要求：计算下列各题中的概率值。
7.设随机变量X服从参数为λ=0.5的泊松分布，求P(X=2)的值。
8.设随机变量X服从均值为μ=5，标准差为σ=2的正态分布，求P(X≤7)的值。
五、应用题
要求：根据所给条件，求解相关概率问题。
9.某班级有30名学生，其中有20名男生和10名女生。随机从该班级中抽取3名学生，求以下概率：
（1）抽到的3名学生都是男生的概率；
（2）抽到的3名学生中至少有1名女生的概率。
六、证明题
要求：证明以下数学命题的正确性。
10.证明对于任意两个随机变量X和Y，有E(XY)=E(X)E(Y)。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.A.0.6
解析：事件A不发生的概率等于1减去事件A发生的概率，即1-0.4=0.6。
2.D.奇数数列
解析：正态分布的随机变量可以是任意的连续值，而奇数数列中的每个数都是离散的，且不连续，因此不是正态分布的随机变量。
二、填空题
3.0.06
解析：事件A和事件B相互独立，因此事件A和B同时发生的概率等于事件A的概率乘以事件B的概率，即0.2*0.3=0.06。
4.0.6826
解析：根据正态分布的性质，大约68.26%的数据会落在均值的一个标准差范围内，因此P(μ-σ≤X≤μ+σ)的值约为0.6826。
三、简答题
5.概率分布函数是描述随机变量取值的函数，它表示随机变量取某个值的概率。其性质包括：非负性、规范性、单调性和右连续性。
6.随机变量的期望是指随机变量取值的加权平均数，它是随机变量取值的概率与其对应值的乘积之和。其性质包括：线性性、期望的线性组合、期望的常数倍和期望的非负性。
四、计算题
7.P(X=2)=(0.5^2*e^-0.5)/2!=0.1968
解析：泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=(λ^k*e^-λ)/k!，其中λ为泊松分布的参数。将λ=0.5和k=2代入公式计算得到P(X=2)。
8.P(X≤7)=Φ((7-5)/2)=Φ(1)≈0.8413
解析：使用正态分布的累积分布函数（CDF）Φ(z)来计算，其中z是标准化后的值。将X的均值μ=5，标准差σ=2，以及X的值7代入计算得到P(X≤7)。
五、应用题
9.
（1）抽到的3名学生都是男生的概率=C(20,3)/C(30,3)=(20*19*18)/(30*29*28)≈0.1345
解析：使用组合数公式C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)计算，其中C(20,3)是从20名男生中选取3名男生的组合数，C(30,3)是从30名学生中选取3名学生的组合数。
（2）抽到的3名学生中至少有1名女生的概率=1-P(抽到的3名学生都是男生)=1-0.1345≈0.8655
解析：使用补事件的概率来计算，即至少有1名女生的概率等于1减去没有女生的概率。
六、证明题
10.证明对于任意两个随机变量X和Y，有E(XY)=E(X)E(Y)。
证明：根据期望的定义，E(XY)=Σ[xy*P(X=x,Y=y)]，其中Σ是对所有可能的x和y值求和。同样，E(X)=Σ[x*P(X=x)]，E(Y)=Σ[y*P(Y=y)]。将E(X)和E(Y)的表达式代入E(XY)中，可以得到E(XY)=Σ[x*y*P(X=x,Y=y)]=Σ[x*P(X=x)]*Σ[y*P(Y=y)]=E(X)E(Y)。证明完毕。