注意到麦克劳林展开式可知线性转移函数是一阶自回归算子的逆算子。故当k0时,其自相关函数：第30页，共65页，星期日，2025年，2月5日第31页，共65页，星期日，2025年，2月5日类似的,当k0时,其自相关函数为第32页，共65页，星期日，2025年，2月5日特别地，AR(1)序列的方差函数为其自相关系数为因为|α|1，故相关系数依指数规律向零衰减。第33页，共65页，星期日，2025年，2月5日例2.1试求AR(1)序列的平稳解与自相关函数。的系数多项式为故得其平稳解为而自相关系数为第34页，共65页，星期日，2025年，2月5日4.AR(2)序列的平稳解与自相关函数因此,求AR(2)模型的平稳解,即化为求线性转移函数的权系数问题.第35页，共65页，星期日，2025年，2月5日(1)线性转移函数的权系数求法对比上述等式两端B的同次幂的系数，可得系数方程组：第36页，共65页，星期日，2025年，2月5日易见权系数满足二阶齐次线性差分方程组第37页，共65页，星期日，2025年，2月5日分两种情形讨论:ⅰ)若自回归多项式有两个不等实根u1与u2时，AR(2)模型的一般解为第38页，共65页，星期日，2025年，2月5日ⅱ)若自回归多项式有两相等实根u，则AR(2)模型的一般解为（2）AR(2)序列自相关函数的求法由AR(2)模型的平稳解知故当k0时，其自相关函数为第39页，共65页，星期日，2025年，2月5日综述为用上式求得AR(2)序列的自相关函数是比较困难的，在实际中常采用另一种简便有效的方法:第40页，共65页，星期日，2025年，2月5日设h0，因εt与xt互不相关，故用xt-h乘以AR(2)模型等式两端，再取数学期望，即得上述递推式称为AR(2)序列的Yule-Walker方程。利用Yule-Walker方程求AR(2)序列的自相关函数方法即称为尤尔-沃克法.第41页，共65页，星期日，2025年，2月5日注：由于此处均值函数为0，其自相关函数与自协方差函数相等，为分析简单起见，我们将自相关函数作为自协方差函数，即表示为而将自相关系数:称为自相关函数。因此，由Yule-Walker方程可得第42页，共65页，星期日，2025年，2月5日其初值为下面分三种情况讨论在上述给定初始条件下,自相关函数的差分方程的解:第43页，共65页，星期日，2025年，2月5日再根据初值条件,自回归系数方程的根与系数的关系得即得第44页，共65页，星期日，2025年，2月5日由上式可看出，当自回归系数方程的根的两实根都在单位圆外部时，ρ(k)随k的增大，向零衰减，若两实根中至少有一个在单位圆内部时，则ρ(k)发散。第45页，共65页，星期日，2025年，2月5日AR(2)序列的平稳域:平稳域图形见下图：?221-20?1-1-11第46页，共65页，星期日，2025年，2月5日*第1页，共65页，星期日，2025年，2月5日自回归模型四、自回归模型的阶数的估计五、自回归模型的参数的估计六、自回归模型的检验七、自回归模型的预报第2页，共65页，星期日，2025年，2月5日时间序列分析最重要的应用是分析和表征观察值之间的相互依赖性与相关性，若对这种相关性进行量化处理，那么就可以方便地从系统的过去值预测将来的值。在数理统计中讨论的数据的线性回归模型,很好地表示了因变量yt的观察值对自变量观测值xt1,xt2,…xtp的相关性，解决了他们之间的相关性问题，但是，对一组随机观测数据，即一个时间序列内部的相关关系它却描述不出来。即它不能描述数据内部之间的相互依赖关系。第3页，共65页，星期日，2025年，2月5日另一方面，某些随机过程与另一些变量取值之间的随机关系，往往根本无法用任何函数关系式来描述，这时就需要采用这个时间序列本身的观测数据之间的依赖关系来揭示这个时序的规律性。第4页，共65页，星期日，2025年，2月5日一、自回归模型的定义定义2.1设{xt,t=0,±1,±2,…}为时间序列，白噪声序列为{εt,t=0,±1,±2,…}，且对任意的st，E(xsεt)=0,则称满足等式的时间序列为p阶自回归（Autoregression）序列,上式为p阶自回归模型，记作AR(p) .易见,此自回归模型描述了数据序列内部的递推的线性回归关系。第5页，共65页，星期日，2025年，2月5日例1.1单摆现象：单摆在第t个