进阶训练(七)传统文化中的数列建模与创新应用
1．(2024·北京人大附中月考)明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，Sn和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为()
[A]35 [B]32
[C]29 [D]26
2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第3项起，每个数等于它前面两个数的和，即an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”．记a2022＝t，则a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝()
[A]t2 [B]t－1
[C]t [D]t＋1
3．(2024·平顶山联考)《周髀算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为()
[A]1尺 [B]1.25尺
[C]1.5尺 [D]2尺
4．(2024·湖南永州联考)“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为36×1-13＝24，能发出第三个基准音的乐器的长度为24×1+13＝32，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列{an}用来研究数据的变化，已知a8＝192，则a5
[A]324 [B]297
[C]256 [D]168
5．(2024·武汉市蔡甸区期末)已知Sn是数列{bn}的前n项和，若(1－2x)2025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2025x2025，数列{bn}的首项b1＝a12+a222+a323＋…＋a202522025，bn＋1·bn＝
[A]－3－21014 [B]－2－3·21012
[C]2－3·21012 [D]3－21014
6．如图1是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振．图2是根据图1绘制的古筝弦及其弦码简易直观图．在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y＝1.1x，第n(n∈N，第0根弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(x′n，y′n)，则ynyn
参考数据：1.122＝8.14．
[A]814 [B]900
[C]914 [D]1000
7．(2025·甘肃金昌模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题，“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是“现有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，估计此金杖总重量约为________斤．
8．(2025·江西南昌模拟)我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图将1，2，3，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方的每列的数字之和为Nn，如图三阶幻方N3＝15，那么N5＝________．
9．(2025·成都模拟)记Sn(x)＝x＋x2＋x3＋…＋xn－2(x∈R，n∈N*)．
(1)当x＝2时，Sn(2)为数列{an}的前n项和，求{an}的通项公式；
(2)记S′2024(x)是S2024(x)的导函数，求S′2024(2)．