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椭圆难题深度破解！3步搞定离心率+斜率问题
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来自：铭师道《新定义下的高中数学四维一体总复习》
——综述——
椭圆，作为高考数学的“常驻嘉宾”，每年都会以各种创新题型难倒一片考生。尤其是结合几何性质、韦达定理的综合题，堪称考场上的“拦路虎”。今天，我们带来一道2024年北京模拟卷的经典椭圆题——以焦点和短轴端点构造正方形为背景，融合直线交点、斜率计算，层层递进，直击考点！
这道题不仅考验对椭圆基本性质的理解，更要求考生灵活运用联立方程、韦达定理等代数技巧。许多同学做到第二问时，往往卡在“对称性分析”和“斜率关系”的转换上。别慌！本文将从零开始拆解步骤，手把手带你厘清思路，揭秘“几何条件代数化”的核心套路！文末还附赠同类型实战题，测测你的通关实力！
——名题精讲——
例题：【2024·北京】已知椭圆E:x2a2+y2b2=1ab0,以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0,t)(t2
（1）求椭圆E的方程及离心率;
（2）若直线BD的斜率为0,求t的值.
【详解】
对椭圆E:x2a2+y2
如图所示，数形结合易知直线AB的斜率存在且不为0,设AB的方程为
y=kx+t,(t2),Ax1,y1,B
若直线BD的斜率为0，由椭圆的对称性可得D(-x2,y2)，则AD的方程为y=y
y
解得t=2.当t=2时，此时k应满足4k2+2?t2=4k2?20k≠0，解得k2
注：摘自铭师道《新定义下的高中数学四维一体总复习》P676
——衍生拓展：方位下的韦达定理应用细则——
圆锥曲线方位下的韦达定理
联立椭圆或双曲线的统一代数式Γ:x2α
α
对于多变量且复杂的联立问题，可逆向书写此方程
若直线与曲线Γ的两交点为x1,y
结论证明：显而易见的是椭圆x2a2+y2b2=1
α
故而有
Δ=4αAC2?ααA2+βB2C2
x
进一步可得y
y
=
另外
x
=?
=?
=2αβAB
我们还可以得到如下的一结论
AB
注：摘自铭师道《新定义下的高中数学四维一体总复习》P672
——实战演练——
设直线l与椭圆x225+y216=1相交于A、B两点，l又与双曲线x2?y2=1相交于C
y=±1613 B.
C.x= D
已知双曲线C:x2a2?y2b2
求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为22,求直线的方程.
——文末福利——
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