2025年统计中级考试模拟试卷：概率与数理统计理论核心考点模拟试题集
一、选择题
要求：选择最符合题意的答案。
1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则P(X=2)的值是：
A.e^(-λ)*λ^2/2!
B.e^(-λ)*λ^2/1!
C.e^(-λ)*λ^2/3!
D.e^(-λ)*λ^2/4!
2.设随机变量X与Y相互独立，且X服从正态分布N(μ1,σ1^2)，Y服从正态分布N(μ2,σ2^2)，则X+Y服从：
A.正态分布N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)
B.正态分布N(μ1,σ1^2+σ2^2)
C.正态分布N(μ1+μ2,σ1^2)
D.正态分布N(μ1,σ1^2)
二、填空题
要求：将正确的答案填入空格中。
3.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P(X≤1)的值是______。
4.设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y服从区间[0,1]上的均匀分布，则P(X≤Y)的值是______。
三、解答题
要求：给出完整的解题过程。
5.设随机变量X与Y相互独立，且X服从参数为λ的指数分布，Y服从参数为μ的指数分布，证明：X+Y服从参数为λ+μ的指数分布。
解题过程：
（1）首先，根据概率密度函数的定义，写出X和Y的概率密度函数：
f_X(x)={λe^(-λx),x≥0,0,x0
f_Y(y)={μe^(-μy),y≥0,0,y0
（2）根据X和Y的独立性，得到X+Y的概率密度函数：
f_Z(z)=∫[0,z]f_X(x)f_Y(z-x)dx
（3）将f_X(x)和f_Y(y)代入上式，并进行积分运算：
f_Z(z)=∫[0,z]λe^(-λx)μe^(-μ(z-x))dx
=λμ∫[0,z]e^(-λx)e^(-μz+μx)dx
=λμ∫[0,z]e^(-(λ+μ)x+μz)dx
=λμe^(-μz)∫[0,z]e^(-(λ+μ)x)dx
=λμe^(-μz)[-e^(-(λ+μ)x)]|[0,z]
=λμe^(-μz)[1-e^(-(λ+μ)z)]
（4）因此，X+Y的概率密度函数为：
f_Z(z)={λμe^(-μz)[1-e^(-(λ+μ)z)],z≥0,0,z0
（5）由指数分布的概率密度函数定义可知，X+Y服从参数为λ+μ的指数分布。
四、计算题
要求：计算下列概率，并将结果用分数和小数形式表示。
6.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，计算P(X=3)的值。
五、应用题
要求：根据给定条件，求解下列问题。
7.设某工厂生产的产品不合格率为0.01，现从该工厂生产的100个产品中随机抽取10个，求：
（1）恰好有1个不合格产品的概率；
（2）至少有2个不合格产品的概率。
六、证明题
要求：证明下列结论。
8.设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y服从区间[0,1]上的均匀分布，证明：P(X≤Y)=1/2。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.A.e^(-λ)*λ^2/2!
解析：泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=e^(-λ)*λ^k/k!，因此当k=2时，P(X=2)=e^(-λ)*λ^2/2!
2.A.正态分布N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)
解析：根据正态分布的性质，两个独立正态分布随机变量之和仍然服从正态分布，其均值和方差分别为两个随机变量均值和方差的和。
二、填空题
3.e^(-λ)*λ^2
解析：指数分布的概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，因此P(X≤1)=∫[0,1]λe^(-λx)dx=1-e^(-λ)，将λ代入即可得到结果。
4.1/2
解析：由于X服从标准正态分布N(0,1)，其概率密度函数关于y=x对称，因此P(X≤Y)=1/2。
三、解答题
5.解题过程：
（1）首先，根据概率密度函数的定义，写出X和Y的概率密度函数：
f_X(x)={λe^(-λx),x≥0,0,x0
f_Y(y)={μe^(-μy),y≥0,0,y0
（2）根据X和Y的独立性，得到X+Y的概率密度函数：
f_Z(z)=∫[0,z]f_X(x)f_Y(z-x)dx
（3）将f_X(x)和f_Y(y)代入上式，并进行积分运算：
f_Z(z)=∫[0,z]λe^(-λx)μe^(-μ(z-x))dx
=λμ∫[0,z]e^(-λx)e^(-μz+μx)dx
=λμ∫[0,z]e^(-(λ+μ)x+μz)dx
=λμe^(-μz)∫[0,z]