基本信息

---

下载

文档摘要

---

2024春省身班动态进出考试常微分方程

一、f(x,y)在R2连续,且对?x,y,y∈R,都有

12

|2xf(x,y)?2xf(x,y)|≤|y?y|

1212

证明:任意给定(x,y)∈R,方程dy=f(x,y)的满足初值条件y(x)=y的解唯一.(方程解的

00dx00

存在性无需证明)

二、可以直接使用的结论:

对任意n阶实矩阵A及任意b0,存在n阶实矩阵F满足A2=ebF.

设b0,Φ(t)是齐次线性方程组x′=A(t)x的基解矩阵,其中A(t)为n阶实矩阵函数,每个元

均为连续函数,且A(t)以b为周期.证明:存在实矩阵F及以2b为周期的实矩阵函数P(t)满

足

Φ(t)=P(t)ebF,?t∈R.

三、考虑以下非线性方程:

2

dyx+11

=?

dx244(x+1)3

y=?(x)为满足?(t)?1,?t∈R的一个解.证明:?(x)为周期函数.

四、证明:第三题中的函数?(x)的周期为2π.

1