两个计数原理、排列与组合
考试要求理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.会用两个计数原理及排列、组合分析和解决一些简单的实际问题．理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
链接教材夯基固本第1课时两个计数原理、排列与组合1．两个计数原理分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法m＋nm×n
2．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照__________排成一列组合作为一组一定的顺序
3．排列数、组合数的定义、公式、性质?排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数公式性质不同排列不同组合??n！???
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一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列． ()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事． ()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． ()×√√
??√√
3．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13改编)从2名女生，4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．?16
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典例精研核心考点第1课时两个计数原理、排列与组合考点一两个计数原理及综合应用[典例1](1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18C．12 D．9√
(2)(2024·江苏常州模拟)中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同．若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有()A．1050种 B．1260种C．1302种 D．1512种(3)(2023·山东济南二模)已知abc表示一个三位数，如果满足ab且cb，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共________个(用数字作答)．√240
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名师点评利用两个基本计数原理解决问题的步骤提醒：涂色问题的两种常用解题方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；以颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析．
[跟进训练]1．(1)(2024·山东菏泽模拟)某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为()A．288种 B．336种C．576种 D．1680种(2)(2023·南京六校联考)如图，用4种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法种数为()A．144种 B．73种C．48种 D．32种(3)3600有________个正约数．45√√
(1)B(2)C(3)45[(1)第一步：排白车，第一行选一个位置，则第二行有三个位置可选，由于车是不相同的，故白车的停法有4×3×2＝24(种)，第二步，排黑车，若白车选AF，则黑车有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG共7种选择，黑车是不相同的，故黑车的停法有2×7＝14(种)，根据分步乘法计数原理，共有24×14＝336(种)．故选B.(2)先对区域B涂色，有4种选择，其次再对区域C涂色，有3种选择，然后再对区域A，D涂色，有两种情况：①若区域A，D同色，有2种情况；②若区域A，D不同色，有2×1＝2(种)情况．综上所述，不同的涂法种数为4×3×(2＋2)＝48(种)．故选C.(3)3600＝24×32×52，其中24的约数有1，2，22，23，24，共5个；32的约数有1，3，32，共3个，52的约数有1，5，52，共3个，所以3600的正约数有5×3×3＝45(个)．]
【教师备选资源】在一块并排10垄的田地中，种植作物时每种作物种植一垄，相邻的垄不种同一种作物，现有3种作物可选，则有________种种植方法；若3