PAGE/NUMPAGES
云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年高二下学期7月期末教育学业质量监测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若集合，则（????）
A． B． C． D．
2．某同学测得连续7天的最低气温（单位：℃）分别为18，19，18，15，15，17，13，则该组数据的第70百分位数为（????）
A．15 B．17 C．17.5 D．18
3．已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（????）
A． B． C． D．
4．设等比数列的前项和为，则（????）
A． B．63 C． D．31
5．已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为（????）
A． B．
C． D．
6．在正方体中，为的中点，为的中点，则下列直线与不垂直的是（????）
A． B． C． D．
7．设点，若在圆上存在两点，使得四边形为正方形，则（????）
A． B． C． D．
8．若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．复数满足，则（????）
A．为纯虚数 B．
C．的实部不存在 D．复数在复平面内对应的点在第二象限
10．已知函数的定义域为，对所有的，都有，则（????）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．在上可能单调递增 D．在上可能单调递减
11．已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为是椭圆上异于的一点，且（为坐标原点），记的斜率分别为，设为的内心，记的面积分别为，，则（????）
A． B．的离心率为
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知为等腰直角三角形，，若，则．
13．设是等差数列的前项和，且为常数，则．
14．在平行四边形中，是线段的中点，沿将折起为，则当四棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角；
(2)已知，求面积的最大值．
16．如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，．
(1)证明：平面．
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
17．在一个牌堆中有6张牌，分别标有数字0，1，2，3，5，7．
(1)规定每次随机翻出一张牌，若数字为奇数，则放回这张牌，若数字为偶数，则不放回这张牌，求第二次翻出的数字是偶数的概率．
(2)规定每次随机翻出一张牌，然后放回，若数字为奇数，则得1分，若数字为偶数，则得2分，翻牌次数不限，直到总得分达到或超过5分，游戏结束．设游戏结束时翻牌的总次数为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望．
18．已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线上一点，且．
(1)求抛物线的方程．
(2)设过点的直线交抛物线于两点，直线与直线分别交于点．
（ⅰ）证明：直线与的斜率之和为0．
（ⅱ）求面积的最大值．
19．定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
(1)若是上的“好函数”，求的取值范围．
(2)（ⅰ）证明：是上的“好函数”．
（ⅱ）设，证明：．
参考答案
1．【答案】C
【分析】先计算集合A,再根据交集计算即可.
【详解】依题意得,则.
故选C.
2．【答案】D
【分析】利用第70百分位数的定义求解即得.
【详解】将该组数据从小到大排列为，又，
所以该组数据的第70百分位数为18.
故选D.
3．【答案】A
【分析】由实轴长可列方程求得参数的值，进一步即可求得渐近线方程.
【详解】由题可知双曲线的实轴长为，则，解得，所以该双曲线的渐近线方程为．
故选A.
4．【答案】A
【分析】由题意知，继而由，解得，
利用等比数列的前项和公式代入求值即可.
【详解】设等比数列的公比为，则，
由，解得，
故．
故选A.
5．【答案】A
【分析】依题意当或时，取得最值，代入检验即可.
【详解】由题可知，当或时，取得最值；
对于A：，
，符合题意，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误.
故选A.
6．【答案】D
【分析】结合正方体中常见的线面垂直，即可判断A、B、C，利用三垂直定理可以判断D.
【详解】
对于A，在正方体中，，又，
所以，故A不合题意；
对于B，在正方体中，，又，
所以，故B不合题意；
对于C，在正方体中，，又，
所以，故C不合题意；
在平面内的一条直线，若它和平面内的一条斜线在平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直，
如图，取中点F，连接OF，FE，易知，
所以FE为在内的射影，又与FE不垂直，所以与不垂直，所以D满足题意，
故选D．
7．【答案】C
【分析】根据四边形为正方形可以得出，应用两点间距离公式计算即可.
【详解】
要使得四边形为正方形，结合圆的对称性可得，满足与圆相切，
且，所