高中数学空间向量之--平面法向量得求法及其应用
平面得法向量
1、定义：如果,那么向量叫做平面得法向量。平面得法向量共有两大类(从方向上分),无数条。
2、平面法向量得求法
方法一(内积法）:在给定得空间直角坐标系中,设平面得法向量[或,或]，在平面内任找两个不共线得向量。由,得且,由此得到关于得方程组,解此方程组即可得到。
方法二:任何一个得一次次方程得图形就就是平面;反之,任何一个平面得方程就就是得一次方程。，称为平面得一般方程。其法向量;若平面与3个坐标轴得交点为，如图所示,则平面方程为:，称此方程为平面得截距式方程,把她化为一般式即可求出她得法向量。
方法三（外积法）:设,为空间中两个不平行得非零向量,其外积为一长度等于,（θ为，两者交角，且)，而与,皆垂直得向量。通常我们采取「右手定则」，也就就就是右手四指由得方向转为得方向时,大拇指所指得方向规定为得方向,。
(注:1、二阶行列式：；2、适合右手定则。)
图1-1C1CB
图1-1
C1
C
B
y
F
A
D
x
A1
D1
z
B1
E
试求(1）:(2):
Kｅy：(1);
例2、如图１-1,在棱长为2得正方体中,
求平面ＡEF得一个法向量。
图2-1-1
图2-1-1
α
B
A
C
AB
A
B
α
图2-1-2
C
求空间角
(1)、求线面角:如图2-1,设就就是平面得法向量,
AＢ就就是平面得一条斜线,,则AＢ与平面
所成得角为:
图2-1-１:
图2-1-2：
βα图2-2(2)、求面面角:设向量,分别就就是平面、得法向量,则二面角得平面角为:
β
α
图2-2
α图2-3β
α
图2-3
β
(图2-３)
两个平面得法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角得平面角。约定,在图2－2中,得方向对平面而言向外,得方向对平面而言向内;在图2-３中,得方向对平面而言向内,得方向对平面而言向内。我们只要用两个向量得向量积（简称“外积”，满足“右手定则”)使得两个半平面得法向量一个向内一个向外,则这两个半平面得法向量得夹角即为二面角得平面角。
图2-4n
图2-4
n
a
b
A
B
(1)、异面直线之间距离:
方法指导:如图2-4,①作直线a、b得方向向量、,
求ａ、b得法向量，即此异面直线a、b得公垂线得方向向量;
②在直线a、b上各取一点A、B,作向量；
③求向量在上得射影ｄ,则异面直线a、b间得距离为
图2-5AαMB
图2-5
A
α
M
B
N
O
(2)、点到平面得距离:
方法指导:如图2-5,若点B为平面α外一点,点Ａ
AaBα图2-6为平面α内任一点,平面得法向量为,
A
a
B
α
图2-6
平面α得距离公式为
(３)、直线与平面间得距离:
图2-7αβAB方法指导：如图2-６,直线
图2-7
α
β
A
B
,其中。就就是平面得法向量
（4)、平面与平面间得距离：
图2-8αa方法指导:如图2-７,两平行平面
图2-8
α
a
图2-9αa,其中。就就是平面、得法向量。
图2-9
α
a
证明
图2-10βα(1）、证明线面垂直:在图2-8中，向就就是平面得法向量,就就是直线ａ得方向向量,证明平面得法向量与直线所在向量共线（)。
图2-10
β
α
（2)、证明线面平行:在图2-9中,向就就是平面得法向量,就就是直
线a得方向向量,证明平面得法向量与直线所在向量垂直()。
图2-11αβ(3)、证明面面垂直：在图２－1０中,就就是平面得法向量,就就是平
图2-11
α
β
面得法向量,证明两平面得法向量垂直()
(4)、证明面面平行:在图2-１1中,向就就是平面得法向量,就就是平面得法向量,证明两平面得法向量共线（)。
三、高考真题新解
图3-1CDMAPB
图3-1
C
D
M
A
P
B
已知如图3－１,四棱锥P－ABCD得底面为直角梯形,AB∥DC,底面ABＣD,且PA=AD=ＤC=AB=1,Ｍ就就是PB得中点
(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PＣD;
(Ⅱ）求ＡC与ＰB所成得角;
（Ⅲ）求面AMC与面ＢMＣ所成二面角得大小
解:以Ａ点为原点，以分别以ＡＤ，AＢ,ＡP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A－xyz如图所示、
，,设平面PAD得法向量为
,,设平面PCD得法向量为
,，即平面ＰAD平面PCD。
，,
,,设平在AMC得法向量为、
又,设平面PCD得法向量为、
、
面AMC与面BＭC所成二面角得大小为、
2、(２00６年云南省第一次统测1９题)(本题满分1２分)
图3-2如图3-２,在长方体ＡBCＤ－A1B１C1D1中,
图3-2
已知AB=ＡA1＝a,BC=a，M就就是AＤ得中点。
(Ⅰ)求证：ＡD∥平面A1BC;
(Ⅱ)求证:平面A１MC⊥平面A1BD1；
(Ⅲ）求点A到平面