4轴对称问题的简单三角形单元4．1形状函数轴对称问题的分析，转化为对其任一个子午面的分析，可将此截面剖分为许多三角形单元，可构造与前平面问题类似的简单三角形单元。单元有3个节点，每节点有沿r及z的两项位移u及w。单元有6个自由度。单元节点位移可以列阵表示为：第31页，共48页，星期日，2025年，2月5日单元内位移场由节点位移插值表示为：如假定位移为坐标的线性函数，形函数矩阵[N]与平面三角形单元的完全相同，只不过需将其中的坐标x改为r，y改为z，即：第32页，共48页，星期日，2025年，2月5日其中D为单元的三角形面积，其他系数为：由平面问题的分析可知，这种形状函数是满足单元收敛的充分必要条件，故有限元分析结果能收敛于真解。第33页，共48页，星期日，2025年，2月5日4．2应变与应力将假定的位移代入式(4．12)，得到单元内应变为：将应变矩阵[B]按节点分块表示为：由(4．12)，得到应变矩阵[B]中任一子矩阵[Bi]为：第34页，共48页，星期日，2025年，2月5日第1页，共48页，星期日，2025年，2月5日1空间问题——三维应力状态实际问题本质上都是立体的、空间的。对承受载荷的弹性体，应有三维应力状态。对弹性体内每点的位移，有u、v、w分别代表对应空间坐标系x、y、z方向的位移。u、v、w本身也代表弹性体内的位移场，即它们都是物体内有效的空间坐标的函数，一般可以表示为：u=u(x,y,z)，v=v(x,y,z)，w=w(x,y,z)。第2页，共48页，星期日，2025年，2月5日回顾空间问题的几何方程为：第3页，共48页，星期日，2025年，2月5日按有限元的习惯写法——算子形式，为：第4页，共48页，星期日，2025年，2月5日应力矢量定义为：物理方程为：弹性矩阵[D]的一般形式为教材中(4-4)式。第5页，共48页，星期日，2025年，2月5日2简单四面体单元2．1形状函数一般的三维结构，都可以划分成很多小的四面体，为四面体单元。大量的小四面体单元拼合起来，可以逼近任意形状的实际三维结构体。简单四面体单元如下图，其中4个节点编号设为k、l、m、n。单元变形时，各节点都有沿x、y、z的3项位移，单元有4个节点，共有12项节点位移，合起来以列阵表示为：第6页，共48页，星期日，2025年，2月5日第7页，共48页，星期日，2025年，2月5日对于这种简单的四面体单元，其内部位移可假设为坐标的线性函数．为满足完备性条件，应取为第8页，共48页，星期日，2025年，2月5日上式含12个a参数，可以由单元的12项节点位移确定。将4个节点的坐标值代入(4．5a)中的u式，在k、l、m、n4个节点上，分别有第9页，共48页，星期日，2025年，2月5日由式(4．5b)求出al、a2、a3与a4，再代回式(4．5a)，整理后得：同理，用v式可求得a5到a8，用w求得a9到a12,为：第10页，共48页，星期日，2025年，2月5日用矩阵记法统一表达为：[N]为形状函数矩阵，可表示为：[I]为三阶单位矩阵，而各节点的形状函数可按下式计算得到，即第11页，共48页，星期日，2025年，2月5日如记矩阵为四面体单元的体积，其他系数皆可由[L]确定，如第12页，共48页，星期日，2025年，2月5日为矩阵第一行各元素的代数余子式。同样可以确定al、bl、cl、dl…an、bn、cn、dn等，它们是矩阵[L]第二、三、四行元素的代数余子式。第13页，共48页，星期日，2025年，2月5日在通常的右手坐标系xyz中，按上式计算时，四面体单元的4个节点排列的顺序应按右手规则，以使体积V为正。即由n点看klm平面，应使k、l、n为逆时针排列。第14页，共48页，星期日，2025年，2月5日简单四面体单元内，位移是坐标的线性函数，单元体的任一三角形界面，变形后仍保持为一平面，且由该面上3个节点的位移决定。因而相邻两单元的三角形交界面上，在变形过程中，其位移是一致的，即两相邻单元的位移在交界面上是连续的，单元满足相容性条件。简单四面体单元的形状函数满足完备性又满足相容性要求，因而用此单元分析三维变形问题时，能收敛于精确解。第15页，共48页，星期日，2025年，2月5日2．2单元刚阵将表达式(4．6)代入几何关系式(4．2)，经过微分运算，可以得到单元内应变为其中应变矩阵[B]是形状函数矩阵经微分算子矩阵作用所得的结果。[B]中任一个子矩阵[Bi]的显式应为：第16页，共48页，星期日，2025年，2月5日由V及bi、ci、di等式可见前式，这里[Bi]的每项元素都是由节点坐标