【高考数学】2026版53高考总复习A版数学链接高考10圆锥曲线中的最值与范围问题链接高考10圆锥曲线中的最值与范围问题
1.(2023全国甲理,20,12分)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p0)交于A,B两点,|AB|=415.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且FM·FN=0,求△MFN
解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由x-2y+1=0,y2=2px消去x得y
∵直线与抛物线有两个交点A,B,∴Δ=16p2-8p0,
解得p12或p0(舍)
由根与系数的关系可知,
y1+y2=4p,y1y2=2p,∴|AB|=1+1
解得p=2或p=-32(舍)
∴p=2.
(2)由(1)知,抛物线的焦点为F(1,0).
由题意知直线MN的斜率不可能为0,
∴设MN的方程为x=my+t,M(x3,y3),N(x4,y4),
联立x=my+t,y2=4x,消去
∴Δ=16m2+16t0,即m2+t0,
由根与系数的关系得y3+y4=4m,y3y4=-4t,
∵FM·FN=0,∴(x3-1,y3)·(x4-1,y4)=0,即(x3-1)(x4-1)+y3y4=(my3+t-1)(my4+t-1)+y3
=(m2+1)y3y4+m(t-1)(y3+y4)+(t-1)2
=(m2+1)(-4t)+m(t-1)·4m+(t-1)2=0,
即-4m2t-4t+4m2t-4m2+t2-2t+1=0,即4m2=t2-6t+1.
设F到MN的距离为d,则d=t-1
又|MN|=1+m
∴S△MFN=12|MN
=t2-2t+1|t-1|=(t
∵4m2=t2-6t+1≥0,解得t≤3-22或
∴当且仅当t=3-22时,S△MFN取得最小值12-82.
即△MFN面积的最小值为12-82.
2.(2023新课标Ⅰ,22,12分)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点0,12的距离,记动点P
(1)求W的方程;
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于33.
解析(1)设P(x,y),由题意得(x-0)2+y-122=|y|,整理得x2-y+14=0,
(2)证明:不妨设A,B,C三点在W上,如图所示.
设Bx0,x02+14,Ax1,x12+14
直线AB,BC的方程分别为y-x02+14=k(x-x0),y-x02+14=-1k(x-x0),即直线AB,BC的方程分别为
联立直线AB与抛物线W的方程可得y=x
则Δ=k2-4kx0+4x02=(k-2x0)20,k≠2x
由根与系数的关系得x0+x1=k,x0·x1=kx0-x0
∴|AB|=1+k2·|x1-x
同理,联立直线BC与抛物线W的方程,并消去y得x2+1kx-1kx0
∴|AB|+|BC|=1+k
由对称性不妨设0|k|≤1,
则1+1k2=1+
∴|AB|+|BC|≥1+k2k-2x0|+1k+2x0≥1+
则(k2+1)3k2=(t+1)3t,令g(
则g(t)=3(
当0t12时,g(t)0,g(t)单调递减;当12t≤1时,g(t)0,g(t)
∴g(t)在t=12即k=±22处取得极小值,即最小值,
∴|AB|+|BC|g(
∴矩形的周长=2(|AB|+|BC|)33.
3.(2025届浙江杭州源清中学月考,18)在直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过F的直线l与C交于M,N两点,且当l的斜率为1时,|MN|=8.
(1)求C的方程;
(2)设l与C的准线交于点P,直线PO与C交于点Q(异于原点),线段MN的中点为R,若|QR|≤3,求△MNQ面积的取值范围.
解析(1)因为过F的直线l与C交于M,N两点,故直线l的斜率不为0,
不妨设l的方程为x=my+p2,M(x1,y1),N(x2,y2
联立x=my+p2,y2=2px,消去
∴y1+y2=2mp,y1y2=-p2,则|MN|=x1+x2+p=m(y1+y2)+2p=2p(m2+1),
由题可知当m=1时,|MN|=8,∴p=2,∴C的方程为y2=4x.
(2)由(1)知yR=y1+y
将yR=2m代入x=my+1,得xR=2m2+1,
即R(2m2+1,2m),
易知C的准线方程为x=-1,又l与C的准线交于点P,
∴P-1,-2
则直线OP的方程为x=m2y,联立OP与C的方程,得y2=2my
∴Q(m2,2m),∴Q,R的纵坐标相等,
∴直线QR∥x轴,∴|QR|=|2m2+1-m2|=m2+1,
∴S△MNQ=S△QRM+S△QRN=12|QR||y1-y2|=2(m2+1)·m
(技巧点拨:巧用面积公式S△MNQ=12|QR|·|y1-y2|避免大量计算,起到化繁为简的目的