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文档摘要

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导数与微分

微分的概念

“显微镜”在自变量x=l附近放大10倍，观察自变量

增量0.1对应的函数值的增量，

AY-f(1+0.1)-f(1)=(1+0.1)2-1=2.0.1+(0.1)20.21,

用“显微镜”放大1000倍，观察自变量增量0.001对应的函数值的增量，

用“显微镜”观察函数f(x)=x2在

一、实验

x=l附近的变化.

数在x=l附近的曲线，我们发现无限小曲线段

接近一条直线。

如果用放大倍数高的“显微镜”来观察函

实验结论

二、具体问题

正方形金属薄片受热后面积的改变。

S=

当无限小时，第（2）式子是高阶无穷小量，那么

注：（i）第一部分是的线性函数，记为的主要部分；

（ii）第二部分是AX的高阶无穷小，当改变量很小时，可以忽略.

解：设边长由变到，

则正方形受热后面积的改变量为：

（1）（2）

因为第（2）部分是高阶无穷小量，所以

既好算又能较好的近似

再如：求正方体金属块在受热后体积的改变量.

解：设边长由变到，

则立方形受热后体积的改变量：

这个线性函数（改变量的主要部分）

是否所有函数的改变量都有？如果有，它叫什么，其系数又怎么算呢？

问题

三、微分的定义

几点说明：

（1）是自变量的改变量的线性函数；（2）；

（3）当A=0时,dy与AY为等价无穷小,因为

（4）常量A与AX无关；

（5）当很小时，

四、计算微分概念中的常数A

当函数f(x)点处可导时，我们有

因此，dy=AAX=f(x,)AX.

思考题

小结