现代制造技术基础理论现代制造技术基础理论第八讲第1页，共38页，星期日，2025年，2月5日主要内容机床颤振基础理论知识单自由度线性振动系统非线性振动的定性分析速度反馈引起的切削颤振；位移延时反馈引起的切削颤振；模态耦合引起的切削颤振第八讲：机床颤振的基本理论第2页，共38页，星期日，2025年，2月5日1.自由振动振动方程：(1)当时,系统作频率为的简谐振动:(2)当时,系统作衰减振荡:频率为小于系统的固有频率.每过一个周期，振幅减小（3）当时,系统作衰减的非周期振动（4）当时为负阻尼,系统作发散振荡8.1单自由度线性振动系统第3页，共38页，星期日，2025年，2月5日2.受迫振动方程(1)当时稳态响应是与激励频率ω相同的简谐振动(2)稳态响应的振幅A取决于激励的幅值B和频率比(3)稳态响应的相位差θ取决于频率比s:第4页，共38页，星期日，2025年，2月5日2.受迫振动方程(4)当激励频率为时稳态响应的振幅A有极大值,称为共振;(5)ξ=0,时,系统作振幅随时间增大的发散振荡，即共振的过渡过程.(6)系统在若干激励同时作用下的响应，等于它们单独作用时的响应的叠加。第5页，共38页，星期日，2025年，2月5日1.相平面内的相轨迹单自由度机械系统的自由振动:引入新的变量y表示速度:系统的运动状态由位置x及速度体现,构成系统的状态变量。动力学方程可改写为一阶微分方程组：以x，y为直角坐标建立的坐标平面称为相平面。与系统的运动状态一一对应的相平面上的点称为系统的相点相点移动的轨迹称为相轨迹；不同初始条件的相轨迹组成相轨迹族8.2非线性振动的定性分析第6页，共38页，星期日，2025年，2月5日2.相轨迹的奇点将状态变量的一阶微分方程的两式相除得到相轨迹的一阶微分方程:给定系统的作用力,即函数f(x,y)确定后，上式确定相平面内各点的向量场，构成相轨迹族。第7页，共38页，星期日，2025年，2月5日奇点：相平面内使相轨迹的一阶微分方程右边分子分母同时为零的点。奇点表明系统的速度和加速度均为零，即系统的平衡状态，也将奇点称为系统的平衡点；奇点可以是稳定的也可以是不稳定的。3.保守系统的自由振动保守系统的动力学方程:相轨迹微分方程:此方程分离变量积分,得到相轨迹方程:保守系统的相轨迹的特点(1)相轨迹曲线相对横坐标对称第8页，共38页，星期日，2025年，2月5日(2)势能曲线z=V(x)与横坐标的平行线z=E交点的横坐标x=C1、C2、C3，相轨迹和横坐标相交。(3)势能曲线z=V(x)驻点相对应的点x=S1、S2、S3为奇点，满足奇点的条件。(4)在势能取极小值的x=S1处，设EV(S1),则在x=S1的某个小邻域内都有E≥V(S1)在相平面上可以得到一个围绕奇点的封闭相轨迹。当E减小时，封闭轨迹逐渐收缩，而当E=V(S1)，缩为奇点S1。当EV(S1),相平面上不存在相应的相轨迹。这类型的奇点是稳定的，称为中心，对应系统的稳定平衡状态第9页，共38页，星期日，2025年，2月5日(5)在势能取极大值的x=S2处，设EV(S2),则在区间(C2，C3）内没有对应的轨迹，而在xC2及xC3处得到相轨迹的两个分支，当E增大时这两支曲线逐渐靠近，当E=V(S2)时它们在奇点S2处相接触。当EV(S2)则演变成分布在x轴上、下方的两支曲线这类型的奇点是不稳定的，称为鞍点，对应系统的不稳定平衡状态通过鞍点的相轨迹称为分隔线。（6）在势能曲线的拐点x=S3处，相轨迹在xS3的左半边具有中心性质，在xS3的右半边具有鞍点性质,相轨迹不封闭。这种奇点为退化的鞍点，对应不稳定的平衡状态第10页，共38页，星期日，2025年，2月5日4.极限环:自激振动相平面(相空间)轨线相图第11页，共38页，星期日，2025年，2月5日5.自激振动的特征振动过程中，存在能量的输入与耗散，因此为非保守系统；能源恒定，能量的输入仅受运动状态，既振动的位移和速度的调节，因此自振系统不显含时间变量，为自治系统；振动的特征量如频率和振幅，由系统的物理参数确定，与初始条件无关；自振系统必为非线性系统；自激振动的稳定性取决于能量的输入与耗散的相互关系，若振幅偏离稳态值时，能量的增减能使振幅回到稳态值，则自激振动稳定，反之不稳定。第