2025年考研数学（二）高等数学综合应用能力测评试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.设函数$f(x)=\frac{x^3-3x^2+4x}{x^2-1}$，则$f(x)$的间断点为：
A.$x=1$，$x=-1$
B.$x=1$，$x=0$
C.$x=-1$，$x=0$
D.$x=1$，$x=2$
2.设$f(x)=x^3+2x^2-3x$，则$f(1)=\text{______}$。
3.若$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x^2}=1$，则$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin3x}{x^2}=\text{______}$。
4.设$f(x)=x^2+2x+3$，则$f(x)$的图像关于：
A.$x$轴对称
B.$y$轴对称
C.原点对称
D.既不关于$x$轴对称，也不关于$y$轴对称
5.若$f(x)$在$x_0$处可导，则$\lim_{x\rightarrowx_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$的值等于：
A.$f(x_0)$
B.$f(x_0)$的倒数
C.$f(x_0)$的平方
D.无法确定
6.设$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$，则$f(0)=\text{______}$。
7.若$f(x)=x^3+3x+1$，则$f(-1)=\text{______}$。
8.设$f(x)=\sinx$，则$f(0)=\text{______}$。
9.若$f(x)=\lnx$，则$f(1)=\text{______}$。
10.设$f(x)=x^3-2x^2+x$，则$f(1)=\text{______}$。
二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
1.若$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，则$f(1)=\text{______}$。
2.设$f(x)=\frac{\sinx}{x}$，则$\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\text{______}$。
3.若$f(x)=x^3+3x^2+3x+1$，则$f(0)=\text{______}$。
4.设$f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$，则$f(0)=\text{______}$。
5.若$f(x)=x^2-2x+1$，则$f(-1)=\text{______}$。
三、解答题（本大题共3小题，共100分）
1.（20分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求：
（1）$f(x)$的导数$f(x)$；
（2）$f(x)$的单调区间；
（3）$f(x)$的极值。
2.（30分）设函数$f(x)=\frac{x^3-3x^2+4x}{x^2-1}$，求：
（1）$f(x)$的定义域；
（2）$f(x)$的连续区间；
（3）$f(x)$的间断点及间断类型；
（4）$f(x)$的可导区间。
3.（50分）已知函数$f(x)=\lnx$，求：
（1）$f(x)$的导数$f(x)$；
（2）$f(x)$的图像；
（3）$f(x)$的单调区间；
（4）$f(x)$的极值。
四、计算题（本大题共3小题，每小题20分，共60分）
1.求极限$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{3x+2}{2x+1}-\frac{1}{x}\right)$。
2.设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$并求$f(x)$的零点。
3.设$f(x)=\sqrt{x^2+2x+1}$，求$f(x)$。
五、证明题（本大题共2小题，每小题20分，共40分）
1.证明：若$f(x)$在$(a,b)$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$，则至少存在一点$c\in(a,b)$，使得$f(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
2.证明：设$f(x)$在$(a,b)$上连续，在$(a,b)$内可导，且$\lim_{x\rightarrowa}f(x)=\lim_{x\rightarrowb}f(x)=L$，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
六、应用题（本大题共1小题，共40分）
1.一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度$a=2m/s^2$，求：
（1）汽车从静止开始行驶5秒后的速度；
（2）汽车行驶10秒后所行驶的距离；
（3）汽车从静止开始行驶到速度达到20m/s所需要的时间。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.A
解析：函数$f(x)=\frac{x