2025年考研数学（二）高等数学应用题难点解析强化试卷
一、选择题（每小题5分，共25分）
1.设函数$f(x)=\frac{1}{x}+\lnx$，则$f(x)$在定义域内的（）
A.有一个极大值点和一个极小值点
B.有两个极大值点
C.有两个极小值点
D.没有极值点
2.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$，则$f(x)$的拐点为（）
A.$(0,0)$
B.$(1,0)$
C.$(2,0)$
D.$(3,0)$
3.设函数$f(x)=e^x-e^{-x}$，则$f(x)$的周期为（）
A.$2\pi$
B.$\pi$
C.$2$
D.$1$
4.设函数$f(x)=\sinx+\cosx$，则$f(x)$的值域为（）
A.$[-2,2]$
B.$[-1,1]$
C.$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$
D.$[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}]$
5.设函数$f(x)=\lnx-x$，则$f(x)$的单调递增区间为（）
A.$(0,+\infty)$
B.$(0,1)$
C.$(1,+\infty)$
D.$(-\infty,0)$
二、填空题（每小题5分，共25分）
1.设函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，则$f(x)$的导数为__________。
2.设函数$f(x)=\ln(1+x^2)$，则$f(x)=__________$。
3.设函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$，则$f(x)=__________$。
4.设函数$f(x)=e^x\sinx$，则$f(x)=__________$。
5.设函数$f(x)=\frac{\sinx}{x}$，则$f(x)=__________$。
三、解答题（每小题15分，共45分）
1.设函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$，求$f(x)$的单调递增区间和单调递减区间。
2.设函数$f(x)=\lnx-x$，求$f(x)$的极值点及极值。
3.设函数$f(x)=e^x\sinx$，求$f(x)$的拐点。
4.设函数$f(x)=\frac{\sinx}{x}$，求$f(x)$的导数，并求$f(x)$的单调性。
四、计算题（每小题15分，共45分）
1.计算定积分$\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$。
2.计算极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin5x-\sin3x}{x}$。
3.求函数$f(x)=e^{2x}\lnx$的导数。
五、证明题（每小题15分，共30分）
1.证明：对于任意的$x\in\mathbb{R}$，有不等式$\ln(1+x)\leqx$成立。
2.证明：对于任意的$x0$，函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x}$在区间$(0,+\infty)$上单调递增。
六、综合题（每小题15分，共45分）
1.设函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求$f(x)$的极值点和拐点。
2.设函数$f(x)=x^2-4x+3$，求定积分$\int_{0}^{3}f(x)\,dx$，并求该积分的原函数。
3.设函数$f(x)=e^{-x^2}$，求$f(x)$在区间$[0,1]$上的平均值，并证明该平均值小于$\frac{1}{2}$。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.D.没有极值点
解析：函数$f(x)=\frac{1}{x}+\lnx$在定义域$(0,+\infty)$内，求导得$f(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x^2}$。令$f(x)=0$，解得$x=1$。检查$f(x)$，发现$f(x)=\frac{2}{x^3}0$，故$x=1$为$f(x)$的拐点，不是极值点。
2.C.$(2,0)$
解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$求导得$f(x)=3x^2-6x+2$，令$f(x)=0$，解得$x=1$或$x=2$。检查$f(x)=6x-6$，在$x=1$时$f(1)=0$，在$x=2$时$f(2)=60$，故$(2,0)$是$f(x)$的拐点。
3.D.$1$
解析：函数$f(x)=e^x-e^{-x}$为周期函数，周期