2025年考研数学（二）高等数学应用题经典题型解析强化试题
一、一元函数微分学
要求：掌握一元函数导数的概念、求导法则及导数的应用。
1.求函数\(f(x)=3x^2-4x+1\)的导数\(f(x)\)。
2.求函数\(f(x)=\ln(x^2+1)\)的导数\(f(x)\)。
3.求函数\(f(x)=\frac{1}{x^2-1}\)的导数\(f(x)\)。
4.已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4\)，求\(f(2)\)。
5.已知函数\(f(x)=\sqrt{x}\)，求\(f(4)\)。
6.已知函数\(f(x)=e^x\)，求\(f(0)\)。
二、一元函数积分学
要求：掌握不定积分和定积分的概念、基本积分公式及积分的应用。
1.求不定积分\(\int(2x^3-3x^2+4)\,dx\)。
2.求不定积分\(\int\frac{1}{x^2+1}\,dx\)。
3.求不定积分\(\int\sqrt{x}\,dx\)。
4.求定积分\(\int_0^1(x^2-2x+1)\,dx\)。
5.求定积分\(\int_1^2\frac{1}{x^2+1}\,dx\)。
6.求定积分\(\int_0^2\sqrt{x}\,dx\)。
三、多元函数微分学
要求：掌握多元函数偏导数的概念、求偏导数的方法及偏导数的应用。
1.求函数\(f(x,y)=x^2+y^2\)的偏导数\(f_x\)和\(f_y\)。
2.求函数\(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)的偏导数\(f_x\)和\(f_y\)。
3.求函数\(f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)的偏导数\(f_x\)和\(f_y\)。
4.已知函数\(f(x,y)=x^2y+y^2x\)，求\(f_x\)和\(f_y\)。
5.已知函数\(f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}\)，求\(f_x\)和\(f_y\)。
6.已知函数\(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)，求\(f_x\)和\(f_y\)。
四、多元函数积分学
要求：掌握二重积分的计算方法及二重积分的应用。
1.计算二重积分\(\iint_D(x^2+y^2)\,dA\)，其中区域\(D\)为\(x^2+y^2\leq1\)。
2.计算二重积分\(\iint_D(xy)\,dA\)，其中区域\(D\)为\(0\leqx\leq1,0\leqy\leqx\)。
3.计算二重积分\(\iint_D\frac{1}{x^2+y^2}\,dA\)，其中区域\(D\)为\(x^2+y^2\leq1\)。
4.已知函数\(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)，计算二重积分\(\iint_De^{x^2+y^2}\,dA\)，其中区域\(D\)为\(x^2+y^2\leq1\)。
5.计算二重积分\(\iint_D\ln(x^2+y^2)\,dA\)，其中区域\(D\)为\(x^2+y^2\leq1\)。
6.计算二重积分\(\iint_D(x^2y+y^2x)\,dA\)，其中区域\(D\)为\(0\leqx\leq1,0\leqy\leqx\)。
五、向量值函数与曲线积分
要求：掌握向量值函数的导数、曲线积分的概念及计算方法。
1.已知向量值函数\(\mathbf{r}(t)=t\mathbf{i}+(t^2+1)\mathbf{j}+(t^3-1)\mathbf{k}\)，求\(\mathbf{r}(t)\)。
2.已知曲线\(C:x=t,y=t^2,z=t^3\)，求曲线\(C\)的弧长\(s\)。
3.已知曲线\(C:x=\cost,y=\sint,z=t\)，计算曲线积分\(\int_C\mathbf{F}\cdotd\mathbf{r}\)，其中\(\math