2025年考研数学（二）高等数学应用题强化试卷，难度递进挑战
一、一元函数微分学
要求：掌握一元函数微分学的概念、求导法则，并能运用微分中值定理和罗尔定理解决实际问题。
1.设函数\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)，求\(f(x)\)。
2.求函数\(f(x)=\frac{e^x}{x}\)在\(x=1\)处的导数。
3.求函数\(f(x)=\ln(x^2+1)\)的导数。
4.设函数\(f(x)=\sqrt{x}\)，求\(f(x)\)。
5.设函数\(f(x)=\frac{1}{x^2}\)，求\(f(x)\)。
6.设函数\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)，求\(f(x)\)。
二、一元函数积分学
要求：掌握不定积分和定积分的概念，并能运用积分方法解决实际问题。
1.求不定积分\(\int(x^2+2x+1)\,dx\)。
2.求不定积分\(\int\frac{1}{x^2}\,dx\)。
3.求不定积分\(\inte^x\,dx\)。
4.求不定积分\(\int\sqrt{x}\,dx\)。
5.求不定积分\(\int\frac{1}{x}\,dx\)。
6.求不定积分\(\int(x^2-2x+1)\,dx\)。
三、多元函数微分学
要求：掌握多元函数微分学的概念，并能运用偏导数和全微分解决实际问题。
1.设函数\(f(x,y)=x^2+y^2\)，求\(f_x(x,y)\)和\(f_y(x,y)\)。
2.设函数\(f(x,y)=e^{x+y}\)，求\(f_x(x,y)\)和\(f_y(x,y)\)。
3.设函数\(f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)，求\(f_x(x,y)\)和\(f_y(x,y)\)。
4.设函数\(f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}\)，求\(f_x(x,y)\)和\(f_y(x,y)\)。
5.设函数\(f(x,y)=x^2y\)，求\(f_x(x,y)\)和\(f_y(x,y)\)。
6.设函数\(f(x,y)=\frac{1}{x^2y}\)，求\(f_x(x,y)\)和\(f_y(x,y)\)。
四、多元函数积分学
要求：掌握二重积分的概念，并能运用二重积分解决实际问题。
1.计算二重积分\(\iint_D(x+y)\,dA\)，其中\(D\)是由直线\(x+y=2\)、\(x=0\)、\(y=0\)所围成的三角形区域。
2.计算二重积分\(\iint_D\frac{1}{x^2+y^2}\,dA\)，其中\(D\)是由圆\(x^2+y^2=1\)所围成的圆盘区域。
3.计算二重积分\(\iint_D(x^2+y^2)\,dA\)，其中\(D\)是由椭圆\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)所围成的椭圆区域。
4.计算二重积分\(\iint_De^{x+y}\,dA\)，其中\(D\)是由直线\(x+y=1\)、\(x=0\)、\(y=0\)所围成的三角形区域。
5.计算二重积分\(\iint_D\ln(x^2+y^2)\,dA\)，其中\(D\)是由圆\(x^2+y^2=4\)所围成的圆盘区域。
6.计算二重积分\(\iint_D\frac{1}{x^2+y^2}\,dA\)，其中\(D\)是由矩形\(0\leqx\leq1\)，\(0\leqy\leq1\)所围成的矩形区域。
五、常微分方程
要求：掌握常微分方程的基本概念，并能运用常微分方程解决实际问题。
1.求解微分方程\(y-2xy=e^x\)。
2.求解微分方程\(y+y=\sinx\)。
3.求解微分方程\(y-3y+2y=0\)。
4.求解微分方程\(y=e^{2x}y^2\)。
5.求解微分方程\(y+4y=\cos2x\)。
6.求解微分方程\(y-y=e^{-x