2025年考研数学（二）线性代数专项突破卷：线性代数与微分方程综合测试
一、填空题
要求：在每小题的空格中填写正确答案。
1.设矩阵A＝[[2,1,-1],[0,1,3],[2,0,1]]，则矩阵A的行列式值为________。
2.设向量组α＝[[1,1,2],[1,2,3],[3,4,5]]，β＝[[2,3,4],[0,2,3],[0,1,1]]，求向量组α与向量组β的最大线性无关组。
3.设矩阵A＝[[1,2,1],[3,4,2],[5,6,3]]，矩阵B＝[[2,1,0],[0,1,0],[0,0,1]]，求矩阵AB。
4.设二次型f(x?,x?,x?)＝x?2＋2x?2＋5x?2＋2x?x?＋4x?x?，求该二次型的标准型。
5.设线性方程组Ax＝b中，系数矩阵A＝[[1,2,1],[3,4,2],[5,6,3]]，增广矩阵为B＝[[1,2,1,5],[3,4,2,11],[5,6,3,15]]，求该线性方程组的通解。
二、选择题
要求：从每小题的四个选项中选出正确答案。
1.设A为n阶方阵，若A的秩为n，则以下结论正确的是（）。
A.A可逆B.A的行列式为0C.A的列向量线性相关D.A的行向量线性相关
2.设向量组α＝[[1,2,3],[1,1,2],[1,0,1]]，β＝[[1,1,1],[2,2,2],[3,3,3]]，以下结论正确的是（）。
A.α与β线性无关B.α与β线性相关C.α与β等价D.α与β正交
3.设二次型f(x?,x?,x?)＝x?2＋2x?2＋5x?2＋2x?x?＋4x?x?，则该二次型的矩阵为（）。
A.[[1,1,0],[1,2,0],[0,0,5]]B.[[1,0,0],[0,2,0],[0,0,5]]C.[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,5]]D.[[1,0,0],[0,1,2],[0,0,5]]
4.设线性方程组Ax＝b中，系数矩阵A＝[[1,2,1],[3,4,2],[5,6,3]]，增广矩阵为B＝[[1,2,1,5],[3,4,2,11],[5,6,3,15]]，以下结论正确的是（）。
A.方程组有无穷多解B.方程组无解C.方程组有唯一解D.无法确定
5.设A为n阶方阵，以下结论正确的是（）。
A.A的秩一定小于nB.A的行列式一定小于nC.A的行向量线性无关D.A的列向量线性无关
四、计算题
要求：计算下列矩阵的秩，并求出其最大线性无关组。
1.设矩阵A＝[[1,2,3,4],[2,4,6,8],[3,6,9,12],[4,8,12,16]]，计算矩阵A的秩，并求出其最大线性无关组。
2.设矩阵B＝[[1,1,0,0],[1,0,1,0],[1,0,0,1],[1,0,0,0]]，计算矩阵B的秩，并求出其最大线性无关组。
五、证明题
要求：证明以下命题。
1.证明：设A为n阶方阵，若A的秩为n，则A可逆。
2.证明：设α＝[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]，β＝[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]，证明向量组α与向量组β等价。
六、应用题
要求：求解下列线性方程组。
1.求解线性方程组：x?＋2x?＋3x?＝6，2x?＋4x?＋6x?＝12，3x?＋6x?＋9x?＝18。
2.求解线性方程组：x?＋2x?＋x?＝4，2x?＋4x?＋2x?＝8，3x?＋6x?＋3x?＝12。
本次试卷答案如下：
一、填空题
1.答案：-3
解析：计算矩阵A的行列式值，按第一行展开，得：2×(1×1×1-3×0×0)-1×(0×1×1-3×0×0)+(-1)×(0×0×1-1×0×0)=2-0+0=2。但这里计算有误，正确计算应为：2×(1×1×1-3×0×0)-1×(0×1×1-3×0×0)+(-1)×(0×0×1-1×0×0)=2-0+0=2。再次检查，正确答案应为行列式值为0，因为第一行有零元素。
2.答案：α
解析：计算向量组α和β的秩，发现向量组α的秩为3，向量组β的秩也为3。由于两个向量组的秩相同，且向量组α的秩等于其元素的个数，因此向量组α是最大线性无关组。
3.答案：[[2,5,3],[6,10,6],[10,15,9]]
解析：计算矩阵AB，即将矩阵B的每一列与矩阵A相乘，得到新的列向量，组成矩阵AB。
4.答案：x?2＋2x?2＋x?2＋2x?x?＋4x?x?
解析：通过配方法将二次型f(x?,x?,x?)转换为标准型。首先，将x?2和2x?2合并，得到x?2＋2x?2，然后利用配方法将其转换为(x?＋x?)2，接着将5x?2转换为(x?＋