2025年考研数学（二）线性代数专项突破卷：强化训练与高分技巧
一、线性方程组
要求：熟练掌握线性方程组的求解方法，包括克拉默法则、矩阵初等行变换和行最简形等。
1.已知线性方程组
\[
\begin{cases}
2x_1-x_2+3x_3=5\\
3x_1+2x_2-4x_3=2\\
-x_1+4x_2+x_3=-1
\end{cases}
\]
求解该方程组。
2.已知线性方程组
\[
\begin{cases}
2x_1+3x_2+4x_3=1\\
4x_1+5x_2+6x_3=2\\
-3x_1+2x_2-x_3=0
\end{cases}
\]
判断该方程组有无解，若有解，求出其通解。
3.已知线性方程组
\[
\begin{cases}
x_1+2x_2+3x_3=0\\
2x_1+4x_2+6x_3=0\\
3x_1+6x_2+9x_3=0
\end{cases}
\]
求出该方程组的系数矩阵、增广矩阵的行最简形。
二、矩阵运算
要求：掌握矩阵的运算，包括矩阵乘法、逆矩阵、转置矩阵等。
1.已知矩阵
\[
A=\begin{bmatrix}
12\\
34
\end{bmatrix}
\]
求矩阵\(A\)的逆矩阵。
2.已知矩阵
\[
B=\begin{bmatrix}
21\\
32
\end{bmatrix}
\]
求矩阵\(B\)的转置矩阵。
3.已知矩阵
\[
C=\begin{bmatrix}
123\\
456\\
789
\end{bmatrix}
\]
求矩阵\(C\)的行列式值。
三、向量空间
要求：理解向量空间的概念，掌握向量空间的基本性质和运算。
1.已知向量
\[
\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}
1\\
2
\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}
3\\
4
\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}
5\\
6
\end{bmatrix}
\]
判断向量\(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\)是否构成向量空间\(V\)的一个基，若构成，求出\(V\)的维数。
2.已知向量空间\(V\)的一个基为
\[
\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}
1\\
2
\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}
3\\
4
\end{bmatrix}
\]
求向量\(\mathbf{v}=\begin{bmatrix}
5\\
6
\end{bmatrix}\)在基\(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\)下的坐标。
3.已知向量空间\(V\)的维数为3，基为
\[
\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}
0\\
1\\
0
\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}
\]
求向量\(\mathbf{v}=\begin{bmatrix}
1\\
2\\
3
\end{bmatrix}\)在基\(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\)下的坐标。
四、特征值与特征向量
要求：理解特征值与特征向量的概念，掌握求特征值与特征向量的方法。
1.已知矩阵
\[
A=\begin{bmatrix}
21\\
12
\end{bmatrix}
\]
求矩阵\(A\)的特征值和特征向量。
2.已知矩阵
\[
B=\begin{bmatrix}
11\\
01
\end{bmatrix}
\]
求矩阵\(B\)的特征值和特征向量。
3.已知矩阵
\[
C=\begin{bmatrix}
123\\
456\\
789
\end{bmatrix}
\]
求矩阵\(C\)的特征值和特征向量。
五、二次型
要求：掌握二次型的概念，掌握二次型化简的方法。
1.已知二次型
\[
f(