2025年考研数学（三）线性代数与概率解题技巧与综合试卷
一、线性代数
要求：掌握线性方程组、矩阵的秩、特征值与特征向量、二次型等基本概念，并能熟练运用这些概念解决实际问题。
（一）线性方程组
1.设线性方程组
\[\begin{cases}
x+2y+3z=1\\
2x+y-z=2\\
-x+3y+2z=3
\end{cases}\]
（1）判断该方程组是否只有零解；
（2）若只有零解，求出方程组的通解。
（二）矩阵的秩
2.设矩阵
\[A=\begin{bmatrix}
123\\
456\\
789
\end{bmatrix}\]
（1）求矩阵A的秩；
（2）若矩阵B的秩为2，求矩阵B的形式。
（三）特征值与特征向量
3.设矩阵
\[A=\begin{bmatrix}
210\\
121\\
012
\end{bmatrix}\]
（1）求矩阵A的特征值；
（2）求矩阵A对应于特征值2的特征向量。
（四）二次型
4.设二次型
\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+4x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_2x_3+2x_1x_3\)
（1）将二次型化为标准形；
（2）求二次型的正负惯性指数。
二、概率论
要求：掌握随机变量及其分布、随机变量的函数、随机变量的数字特征等基本概念，并能运用这些概念解决实际问题。
（一）随机变量及其分布
5.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求X的分布律。
（二）随机变量的函数
6.设随机变量X的分布函数为
\(F_X(x)=\begin{cases}
0,x0\\
\frac{1}{2}x^2,0\leqx1\\
1,x\geq1
\end{cases}\)
（1）求随机变量Y=X^2的分布函数；
（2）求随机变量Y的期望值。
（三）随机变量的数字特征
7.设随机变量X的期望值E(X)=2，方差D(X)=4，求随机变量X+3的方差。
三、综合题
要求：综合运用线性代数和概率论的知识解决实际问题。
8.设线性方程组
\[\begin{cases}
x+2y+3z=1\\
2x+y-z=2\\
-x+3y+2z=3
\end{cases}\]
的系数矩阵为A，增广矩阵为B。已知A的秩为2，求B的秩，并求出方程组的通解。
9.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求X+1的分布律。
四、线性代数
要求：掌握矩阵的初等变换、二次型的对称性、线性空间的基本概念等，并能将这些概念应用于解决具体问题。
（一）矩阵的初等变换
10.对矩阵
\[C=\begin{bmatrix}
102\\
314\\
215
\end{bmatrix}\]
进行初等行变换，使其成为行最简形矩阵。
11.设矩阵
\[A=\begin{bmatrix}
110\\
011\\
110
\end{bmatrix}\]
求矩阵A的逆矩阵。
（二）二次型的对称性
12.设二次型
\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-4x_1x_2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_3\)
检验该二次型是否具有对称性，并说明理由。
13.设二次型
\(g(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)
求该二次型的矩阵，并判断其正负惯性指数。
（三）线性空间
14.设向量空间V由所有形如\(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\)的向量组成，其中\(e_1,e_2,e_3\)是标准正交基，且\(x_1,x_2,x_3\)为实数。求V的维数，并给出一个基。
15.设线性变换T将向量空间V中的向量\(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\)映射到向量空间W中的向量\(x_