2025年考研数学（三）线性代数与概率解题技巧与实战演练
一、线性代数
要求：熟练掌握线性方程组、矩阵、向量、特征值和特征向量等基本概念，并能运用相关理论解决实际问题。
1.设线性方程组
$$
\begin{cases}
x_1+2x_2+3x_3=6\\
2x_1+4x_2+6x_3=12\\
3x_1+6x_2+9x_3=18
\end{cases}
$$
求该方程组的通解。
2.设矩阵
$$
A=\begin{bmatrix}
123\\
456\\
789
\end{bmatrix}
$$
求矩阵A的特征值和特征向量。
二、概率论与数理统计
要求：掌握随机事件、概率、期望、方差等基本概念，并能运用相关理论解决实际问题。
1.设事件A和B相互独立，且$P(A)=0.3$，$P(B)=0.4$，求$P(A\cupB)$。
2.设随机变量X服从二项分布，$P(X=1)=0.5$，求$P(X\geq2)$。
3.设随机变量X服从正态分布，$E(X)=5$，$D(X)=4$，求$P(X\leq3)$。
四、线性空间与线性变换
要求：掌握线性空间的基本性质，能识别线性空间，并求解线性变换的问题。
1.设$V$是实数域上的线性空间，$V$的维数为3，证明$V$中任意四个向量必线性相关。
2.设$T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$是一个线性变换，且$T(e_1)=e_2+e_3$，$T(e_2)=2e_1$，$T(e_3)=e_1-e_2$，其中$e_1,e_2,e_3$是标准正交基，求$T$在标准正交基下的矩阵表示。
3.设$T:V\rightarrowV$是线性空间$V$上的线性变换，且$T^2=T$，证明$T$是投影变换。
五、矩阵的对角化
要求：掌握矩阵对角化的理论和方法，并能求解矩阵对角化的问题。
1.设矩阵$A=\begin{bmatrix}21\\-12\end{bmatrix}$，求矩阵$A$的特征值和特征向量，并对角化矩阵$A$。
2.设矩阵$B=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，判断矩阵$B$是否可对角化，若可对角化，求出对角化矩阵。
3.设矩阵$C=\begin{bmatrix}100\\010\\000\end{bmatrix}$，求矩阵$C$的特征值和特征向量，并利用特征值和特征向量求矩阵$C$的幂$C^5$。
六、随机变量的分布
要求：掌握随机变量的分布律、概率密度函数等基本概念，并能计算随机变量的期望、方差等统计量。
1.设随机变量$X$的分布律如下：
$$
\begin{array}{c|ccc}
X123\\
\hline
P0.20.30.5
\end{array}
$$
求$X$的期望$E(X)$和方差$D(X)$。
2.设随机变量$Y$的概率密度函数为$f_Y(y)=\begin{cases}2y,0\leqy\leq1\\0,\text{其他}\end{cases}$，求$Y$的分布函数$F_Y(y)$。
3.设随机变量$Z$服从标准正态分布，求$P(Z\leq0)$和$P(Z\geq1)$。
本次试卷答案如下：
一、线性代数
1.解：将方程组化为增广矩阵
$$
\begin{bmatrix}
123|6\\
246|12\\
369|18
\end{bmatrix}
$$
进行行变换，得到
$$
\begin{bmatrix}
123|6\\
000|0\\
000|0
\end{bmatrix}
$$
由于系数矩阵的秩小于方程组的未知数个数，故方程组有无穷多解。令$x_3=t$，则$x_1=6-2t$，$x_2=t$，所以通解为
$$
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
6-2t\\
t\\
t
\end{bmatrix}
$$
其中$t$为任意常数。
2.解：计算矩阵$A$的特征多项式
$$
\det(A-\lambdaI)=\det\begin{bmatrix}
1-\lambda23\\
45-\lambda6