2025年考研数学（三）线性代数与概率综合试卷：解题技巧与备考建议
一、填空题
1.设向量组$\boldsymbol{a}_1=(1,2,3)^T$，$\boldsymbol{a}_2=(4,5,6)^T$，$\boldsymbol{a}_3=(7,8,9)^T$，则该向量组的秩为______。
2.设线性方程组$AX=0$的系数矩阵$A$的秩为$2$，增广矩阵的秩为$3$，则方程组$AX=0$的解的个数为______。
3.设矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，则矩阵$\boldsymbol{A}$的逆矩阵$\boldsymbol{A}^{-1}$为______。
二、选择题
1.设向量组$\boldsymbol{a}_1=(1,1,1)^T$，$\boldsymbol{a}_2=(2,2,2)^T$，$\boldsymbol{a}_3=(3,3,3)^T$，则该向量组的秩为（）。
（A）1（B）2（C）3（D）0
2.设线性方程组$AX=0$的系数矩阵$A$的秩为$3$，增广矩阵的秩为$4$，则方程组$AX=0$的解的个数为（）。
（A）0（B）1（C）2（D）3
3.设矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，则矩阵$\boldsymbol{A}$的逆矩阵$\boldsymbol{A}^{-1}$存在当且仅当（）。
（A）$3\times3$（B）$2\times2$（C）$2\times3$（D）$3\times2$
三、解答题
1.已知线性方程组$\begin{cases}x+2y+3z=1\\2x+4y+6z=2\\3x+6y+9z=3\end{cases}$，求方程组的解。
2.设矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，求矩阵$\boldsymbol{A}$的行列式$\left|\boldsymbol{A}\right|$。
3.已知矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，求矩阵$\boldsymbol{A}$的特征值和特征向量。
四、证明题
证明：设$\boldsymbol{A}$是$n$阶方阵，$\lambda$是$\boldsymbol{A}$的一个非零特征值，$\boldsymbol{\alpha}$是对应的特征向量，证明$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}$。
五、计算题
1.设矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}213\\426\\639\end{bmatrix}$，求矩阵$\boldsymbol{A}$的伴随矩阵$\boldsymbol{A}^*$。
2.设线性方程组$AX=B$的系数矩阵$\boldsymbol{A}$和增广矩阵$\boldsymbol{B}$分别为：
$$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}123|1\\456|2\\789|3\end{bmatrix}$$
求解方程组$AX=B$。
六、应用题
已知某工厂生产三种产品A、B、C，其生产成本、利润和市场需求如下表所示：
|产品|生产成本（元/件）|利润（元/件）|市场需求（件/月）|
|----|----------------|------------|----------------|
|A|10|20|100|
|B|15|25|80|
|C|20|30