2025年考研数学（三）线性代数与概率综合卷备考攻略
一、线性代数（30分）
1.设矩阵A为
$$
A=\begin{bmatrix}
123\\
456\\
789
\end{bmatrix}
$$
（1）求矩阵A的特征值和特征向量。
（2）求矩阵A的逆矩阵。
（3）判断矩阵A是否可对角化，并说明理由。
2.设向量组α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，γ=(7,8,9)，求以下问题：
（1）求向量组α，β，γ的秩。
（2）判断向量组α，β，γ是否线性相关。
（3）若存在实数k1，k2，k3，使得k1α+k2β+k3γ=0，求k1，k2，k3的值。
二、概率论与数理统计（20分）
1.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ=0，σ^2=1。
（1）求X的概率密度函数。
（2）求X取值在(-1,1)之间的概率。
（3）求X的分布函数。
2.设随机变量X，Y相互独立，且X～B(3,0.5)，Y～B(4,0.3)。
（1）求X+Y的概率分布。
（2）求X+Y的期望值和方差。
（3）求X+Y取值在2到5之间的概率。
三、线性代数与概率论与数理统计综合题（50分）
1.设矩阵A为
$$
A=\begin{bmatrix}
123\\
456\\
789
\end{bmatrix}
$$
（1）求矩阵A的特征值和特征向量。
（2）求矩阵A的逆矩阵。
（3）求矩阵A的秩。
2.设随机变量X，Y相互独立，且X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)。
（1）求X+Y的概率分布。
（2）求X+Y的期望值和方差。
（3）求X+Y取值在(μ1,μ2)之间的概率。
四、线性代数（30分）
1.设线性变换T：R^3→R^3，定义为T(x,y,z)=(x+2y-z,3x+y+2z,-x+y-z)，求T的特征值和特征向量。
2.设矩阵A为
$$
A=\begin{bmatrix}
21-1\\
-3-12\\
12-1
\end{bmatrix}
$$
（1）求矩阵A的行列式。
（2）求矩阵A的逆矩阵。
（3）求矩阵A的秩。
五、概率论与数理统计（20分）
1.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.2。
（1）求X的期望值和方差。
（2）求X取值大于等于7的概率。
（3）求X取值小于等于2的概率。
2.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ=5，σ=1.5，从总体中抽取样本X1,X2,...,Xn，求样本均值X?的分布。
六、线性代数与概率论与数理统计综合题（50分）
1.设线性方程组
$$
\begin{cases}
x+2y+3z=6\\
2x+y+z=4\\
-x+3y+2z=2
\end{cases}
$$
（1）求方程组的通解。
（2）求方程组的特解。
（3）判断方程组是否有非零解，并说明理由。
2.设随机变量X～N(μ,σ^2)，已知P(X≤1)=0.8，P(X≤3)=0.95，求μ和σ的值。
本次试卷答案如下：
一、线性代数（30分）
1.
（1）特征值：
$$
\begin{align*}
\det(A-\lambdaI)=\det\begin{bmatrix}
1-\lambda23\\
45-\lambda6\\
789-\lambda
\end{bmatrix}\\
=(1-\lambda)[(5-\lambda)(9-\lambda)-48]-2[4(9-\lambda)-48]+3[4(5-\lambda)-36]\\
=\lambda^3-15\lambda^2+84\lambda-144
\end{align*}
$$
解特征方程$\lambda^3-15\lambda^2+84\lambda-144=0$，得特征值$\lambda_1=4,\lambda_2=6,\lambda_3=3$。
特征向量：
对于$\lambda_1=4$，解方程组$(A-4I)v=0$，得特征向量$v_1=(1,-1,0)$。
对于$\lambda_2=6$，解方程组$(A-6I)v=0$，得特征向量$v_2=(1,1,-1)$。
对于$\lambda_3=3$，解方程组$(A-3I)v=0$，得特征向量$v_3=(1,0,1)$。
（2）逆矩阵：
$$
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin