2025年考研数学（三）线性代数与概率核心概念解析与综合试题

一、填空题（每空2分，共10分）

1.设矩阵\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)，求矩阵\(\boldsymbol{A}\)的特征值和特征向量。

2.若向量\(\boldsymbol{a}=(1,-1,2)^T\)和\(\boldsymbol{b}=(3,2,-1)^T\)，求\(\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{b}\)的夹角余弦值。

3.设向量\(\boldsymbol{\alpha}=(1,2,3)^T\)和\(\boldsymbol{\beta}=(3,1,2)^T\)，求\(\boldsymbol{\alpha}\)与\(\boldsymbol{\beta}\)的线性组合\(\lambda\boldsymbol{\alpha}+\mu\boldsymbol{\beta}\)在向量\(\boldsymbol{\alpha}\)和\(\boldsymbol{\beta}\)所在的平面上的投影向量。

4.设向量\(\boldsymbol{a}=(1,1,1)^T\)和\(\boldsymbol{b}=(1,2,3)^T\)，求\(\boldsymbol{a}\)和\(\boldsymbol{b}\)的外积\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)。

5.设矩阵\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}213\\421\\132\end{pmatrix}\)，求矩阵\(\boldsymbol{A}\)的伴随矩阵\(\boldsymbol{A}^*\)。

二、选择题（每题2分，共10分）

1.设矩阵\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}10\\00\end{pmatrix}\)，则\(\boldsymbol{A}\)的行列式\(\det(\boldsymbol{A})\)等于（）。

A.1B.0C.-1D.无法确定

2.向量\(\boldsymbol{a}=(1,1,1)^T\)和\(\boldsymbol{b}=(1,2,3)^T\)的夹角余弦值等于（）。

A.0B.1/3C.1/2D.1

3.设向量\(\boldsymbol{\alpha}=(1,2,3)^T\)和\(\boldsymbol{\beta}=(3,1,2)^T\)，若\(\boldsymbol{\alpha}\)和\(\boldsymbol{\beta}\)正交，则\(\lambda=\)（）。

A.1B.2C.3D.-3

4.设矩阵\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}\)，则\(\boldsymbol{A}\)的逆矩阵\(\boldsymbol{A}^{-1}\)等于（）。

A.\(\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}123\\-4-5-6\\789\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1-23\\4-56\\-7-89\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1-23\\-4-56\\-7-89\end{pmatrix}\)

5.设矩阵\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}21\\32\end{pmatrix}\)，则\(\boldsymbol{A}^2\)等于（）。

A.\(\begin{pmatrix}52\\65\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}21\\32\end{pmatrix}\)C.\(\be