2025年考研数学（三）线性代数与概率历年真题精讲试卷

一、线性代数

要求：本部分主要考察线性代数的基本概念、线性方程组、向量空间、线性变换等知识。

1.设矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，求矩阵$\boldsymbol{A}$的行列式和逆矩阵。

2.已知向量组$\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{bmatrix}3\\6\\9\end{bmatrix}$，证明向量组$\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\alpha}_3$线性相关。

二、概率论与数理统计

要求：本部分主要考察概率论的基本概念、随机变量及其分布、大数定律、中心极限定理等知识。

3.设随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，求$P\{X=2\}$。

4.设随机变量$X$和$Y$相互独立，$X$服从标准正态分布，$Y$服从参数为$\lambda$的指数分布，求随机变量$Z=X+Y$的分布函数。

5.设随机变量$X$服从参数为$n$和$p$的二项分布，求$P\{X=k\}$的最大值所对应的$k$值。

6.设随机变量$X$服从参数为$\mu$和$\sigma^2$的正态分布，求$P\{X\mu+2\sigma\}$。

四、线性方程组

要求：本部分主要考察线性方程组的解法、齐次线性方程组的解的结构以及非齐次线性方程组的解的存在性等知识。

7.解线性方程组$\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+y+3z=2\\-x+y-2z=0\end{cases}$。

8.判断下列线性方程组是否有解，若存在解，求出其通解：$\begin{cases}x+y+z=1\\2x+y+2z=2\\3x+y+3z=3\end{cases}$。

9.设线性方程组$\begin{cases}x+2y+3z=1\\2x+4y+6z=2\\3x+6y+9z=3\end{cases}$，求系数矩阵$\boldsymbol{A}$的秩，并判断方程组是否有解。

五、向量空间

要求：本部分主要考察向量空间的基本概念、基、维数、子空间等知识。

10.设向量组$\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$，求向量组$\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\alpha}_3$的极大线性无关组，并求该组所构成的子空间的维数。

11.设向量空间$V$的基为$\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$，其中$\boldsymbol{\beta}_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\beta}_2=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\beta}_3=\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}$，求向量$\boldsymbol{\gamma}=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}$在基$\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$下的坐标。

12.设向量空间$V$是由$