2025年考研数学（三）线性代数与微积分综合测试题库及答案
一、线性代数
1.设A为3×3实矩阵，满足A2=2A-I，且A的特征值有1和2，求A的另一个特征值及其对应的特征向量。
（1）求出矩阵A的特征多项式。
（2）解出矩阵A的另一个特征值。
（3）求出对应的特征向量。
2.设矩阵A的秩为r，且满足|A|=1，求下列矩阵的秩：
（1）A的伴随矩阵A*。
（2）A的转置矩阵AT。
（3）A的逆矩阵A?1。
3.设A为n阶实对称矩阵，证明存在正交矩阵Q，使得Q?1AQ=Λ，其中Λ是对角矩阵，对角元素为A的特征值。
（1）证明A有n个线性无关的特征向量。
（2）证明存在正交矩阵Q，使得Q?1AQ=Λ。
（3）求出Λ的对角元素，即A的特征值。
二、微积分
1.设f(x)=3x3-6x2+9x-1，求f(x)和f(x)。
（1）求f(x)。
（2）求f(x)。
2.设函数f(x)=ln(x2-2x+2)，求f(x)。
（1）求f(x)。
（2）求f(1)的值。
3.设函数f(x)=e?(x2)，求f(x)和f(x)。
（1）求f(x)。
（2）求f(x)。
四、线性代数
1.设A为4×4矩阵，且满足以下条件：
(1)A的秩为3。
(2)A的伴随矩阵A*的秩为1。
(3)A的特征值中有两个特征值为零。
求A的另一个特征值及其对应的特征向量。
（1）根据A的秩，写出A的行最简形式。
（2）根据A*的秩，写出A的列最简形式。
（3）求出A的非零特征值。
（4）求出对应的特征向量。
五、微积分
1.已知函数f(x)=x3-3x2+4x+2，求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。
（1）求f(x)。
（2）找出f(x)的零点。
（3）判断这些零点处的函数值，确定最大值和最小值。
2.设函数f(x)=e^x*sin(x)，求f(x)在x=0处的泰勒展开式的前三项。
（1）计算f(0)。
（2）计算f(0)。
（3）计算f(0)。
（4）写出f(x)在x=0处的泰勒展开式的前三项。
3.设函数f(x)=ln(1+x)，求f(x)在x=0处的Maclaurin级数的前四项。
（1）计算f(0)。
（2）计算f(0)。
（3）计算f(0)。
（4）写出f(x)在x=0处的Maclaurin级数的前四项。
六、线性代数
1.设A为3×3实矩阵，已知A的特征值为λ?=2,λ?=3,λ?=4，且对应的特征向量为α?=(1,2,3)T，α?=(0,1,2)T，α?=(1,0,1)T。求矩阵A。
（1）构造特征向量矩阵P。
（2）计算对角矩阵D。
（3）求出矩阵A。
2.设A为2×2实对称矩阵，且满足A2=2A-3I。已知A的特征值之一为λ?=3，求A的另一个特征值及其对应的特征向量。
（1）写出A的特征多项式。
（2）求出A的另一个特征值。
（3）求出对应的特征向量。
本次试卷答案如下：
一、线性代数
1.设A为3×3实矩阵，满足A2=2A-I，且A的特征值有1和2，求A的另一个特征值及其对应的特征向量。
（1）求出矩阵A的特征多项式。
解析：设A的特征值为λ，则A2-2A+I=0，即特征多项式为p(λ)=λ2-2λ+1。
（2）解出矩阵A的另一个特征值。
解析：由于特征值λ?=1和λ?=2已知，代入特征多项式p(λ)得p(1)=0和p(2)=0，因此A的另一个特征值λ?=1。
（3）求出对应的特征向量。
解析：对于特征值λ?=1，解方程(A-I)x=0得特征向量x=(1,1,1)T。
2.设矩阵A的秩为r，且满足|A|=1，求下列矩阵的秩：
（1）A的伴随矩阵A*。
解析：由于|A|=1，A*的秩等于A的秩，即r。
（2）A的转置矩阵AT。
解析：A的转置矩阵AT的秩等于A的秩，即r。
（3）A的逆矩阵A?1。
解析：A的逆矩阵A?1存在，且其秩等于A的秩，即r。
3.设A为n阶实对称矩阵，证明存在正交矩阵Q，使得Q?1AQ=Λ，其中Λ是对角矩阵，对角元素为A的特征值。
（1）证明A有n个线性无关的特征向量。
解析：由于A是实对称矩阵，其特征值都是实数，