2025年考研数学（三）线性代数与微积分经典题型精讲与试题
一、线性代数
1.设向量组$A_1=\{a_1,a_2,a_3\}$，其中$a_1=(1,2,3)$，$a_2=(4,5,6)$，$a_3=(7,8,9)$，求向量组$A_1$的秩。
2.设矩阵$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，求矩阵$A$的逆矩阵。
二、微积分
1.求函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$处的导数。
2.设函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求函数$f(x)$的导数。
三、线性代数
1.设向量组$B_1=\{b_1,b_2,b_3\}$，其中$b_1=(1,1,1)$，$b_2=(2,2,2)$，$b_3=(3,3,3)$，求向量组$B_1$的秩。
2.设矩阵$B=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，求矩阵$B$的特征值。
四、微积分
1.求函数$g(x)=e^{2x}-e^{-2x}$在$x=0$处的导数。
2.设函数$h(x)=\ln(x^2+1)$，求函数$h(x)$的导数。
五、线性代数
1.设向量组$C_1=\{c_1,c_2,c_3\}$，其中$c_1=(1,1,1)$，$c_2=(2,2,2)$，$c_3=(3,3,3)$，求向量组$C_1$的秩。
2.设矩阵$C=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，求矩阵$C$的特征值。
六、微积分
1.求函数$k(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$在$x=1$处的导数。
2.设函数$m(x)=\arctan(x)$，求函数$m(x)$的导数。
四、线性代数
1.设矩阵$D=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，求矩阵$D$的伴随矩阵。
2.设向量$\mathbf{v}=(1,2,3)$，求向量$\mathbf{v}$与向量组$E_1=\{(1,0,1),(0,1,0),(1,1,1)\}$的线性相关性。
五、微积分
1.计算定积分$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x)\,dx$。
2.求函数$n(x)=\sin(x)$在区间$[0,\pi]$上的定积分。
六、线性代数
1.设矩阵$F=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，求矩阵$F$的行列式。
2.设向量$\mathbf{w}=(4,5)$，求向量$\mathbf{w}$与向量组$G_1=\{(1,2),(3,4)\}$的线性相关性。
本次试卷答案如下：
一、线性代数
1.解析：向量组$A_1=\{a_1,a_2,a_3\}$的秩可以通过计算矩阵$\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$的秩得到。由于矩阵的每一行都是相同的，因此矩阵的秩为1。
2.解析：矩阵$A$的逆矩阵可以通过初等行变换求出。首先，将矩阵$A$与单位矩阵$E$放在一起形成增广矩阵，然后通过初等行变换将$A$转换为单位矩阵$E$，同时将$E$转换为$A$的逆矩阵。具体过程如下：
$$
\begin{bmatrix}
123|100\\
456|010\\
789|001
\end{bmatrix}
\xrightarrow{\text{行变换}}
\begin{bmatrix}
123|100\\
0-3-6|-410\\
0-6-12|-701
\end{bmatrix}
\xrightarrow{\text{行变换}}
\begin{bmatrix}
123|100\\
012|\frac{4}{3}-\frac{1}{3}0\\
000|-\frac{5}{3}\frac{2}{3}1
\end{bmatrix}
$$
因此，矩阵$A$的逆矩