2025年考研数学（三）模拟冲刺卷：解析复杂题型解题策略
一、函数极限与连续
要求：计算以下函数的极限，并说明函数的连续性。
1.计算极限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2\sinx}{x^3}$。
2.设函数$f(x)=\begin{cases}x^2,x\geq0\\\lnx,x0\end{cases}$，求$\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)$和$\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)$。
3.设函数$g(x)=\begin{cases}e^x,x\geq0\\x^2,x0\end{cases}$，求$\lim_{x\rightarrow0}g(x)$。
4.判断函数$h(x)=\begin{cases}x^3,x\neq0\\0,x=0\end{cases}$在$x=0$处的连续性。
5.设函数$f(x)=\sinx+\cosx$，求$\lim_{x\rightarrow\pi}f(x)$。
6.设函数$g(x)=\frac{\sinx}{x}$，求$\lim_{x\rightarrow0}g(x)$。
二、一元函数微分学
要求：求以下函数的导数，并判断函数的单调性。
1.求函数$f(x)=x^3+3x^2+3x+1$的导数。
2.设函数$g(x)=\lnx^2$，求$g(x)$。
3.设函数$h(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$h(x)$。
4.判断函数$f(x)=x^3-x^2-x+1$在区间$(-\infty,+\infty)$上的单调性。
5.判断函数$g(x)=\frac{1}{x^2+1}$在区间$(-\infty,+\infty)$上的单调性。
6.判断函数$h(x)=\lnx$在区间$(0,+\infty)$上的单调性。
三、一元函数积分学
要求：计算以下定积分。
1.计算定积分$\int_0^1(x^2+2x+1)dx$。
2.计算定积分$\int_1^2(x^2-2x+1)dx$。
3.计算定积分$\int_0^{\pi}\sinx\cosxdx$。
4.计算定积分$\int_0^{\pi}\lnxdx$。
5.计算定积分$\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx$。
6.计算定积分$\int_0^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx$。
四、多元函数微分学
要求：求以下多元函数的偏导数和全微分。
1.设函数$f(x,y)=x^2y^3$，求$\frac{\partialf}{\partialx}$和$\frac{\partialf}{\partialy}$。
2.设函数$g(x,y)=e^{x+y}$，求$\frac{\partialg}{\partialx}$和$\frac{\partialg}{\partialy}$。
3.设函数$h(x,y)=\ln(x^2+y^2)$，求$\frac{\partialh}{\partialx}$和$\frac{\partialh}{\partialy}$。
4.设函数$F(x,y,z)=x^2y+yz^2-xz^3$，求$\frac{\partialF}{\partialx}$，$\frac{\partialF}{\partialy}$和$\frac{\partialF}{\partialz}$。
5.设函数$G(x,y,z)=\frac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}$，求$\frac{\partialG}{\partialx}$，$\frac{\partialG}{\partialy}$和$\frac{\partialG}{\partialz}$。
6.设函数$H(x,y,z)=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$，求$\frac{\partialH}{\partialx}$，$\frac{\partialH}{\partialy}$和$\frac{\partialH}{\partialz}$。
五、多元函数积分学
要求：计算以下二重积分。
1.计算二重积分$\iint_Dx^2y\,dx\,dy$，其中$D$是由直线$y=x$，$y=x+1$和$y=2$围