2025年考研数学（三）概率统计马尔可夫链应用专项试题
一、填空题（每空2分，共10分）
1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，其概率质量函数为P{X=k}=\frac{λ^ke^{-λ}}{k!}，则随机变量Y=\frac{X}{λ}服从（）分布。
2.设事件A，B，C相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(C)=0.5，则P(A∩B∩C)=____。
3.设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)在x=a处连续，则P{X=a}=____。
4.设随机变量X和Y独立同分布，X的分布函数为F(x)，则Y的分布函数为____。
5.设随机变量X服从区间[0,1]上的均匀分布，则随机变量Y=3X+2的方差为____。
二、选择题（每题3分，共15分）
1.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则以下哪个选项是正确的？
（A）X的分布函数F(x)在x=μ处取得最大值。
（B）X的分布函数F(x)在x=μ处取得最小值。
（C）X的分布函数F(x)在x=μ处取得最小值，且该最小值为0。
（D）X的分布函数F(x)在x=μ处取得最大值，且该最大值为1。
2.设随机变量X和Y独立同分布，X的数学期望为E(X)=a，方差为D(X)=b，则E(Y^2)=____。
3.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则X的分布函数F(x)在x=0处的导数等于____。
4.设随机变量X和Y相互独立，X的分布函数为F(x)，Y的分布函数为G(x)，则Z=X+Y的分布函数为____。
5.设随机变量X和Y独立同分布，X的分布函数为F(x)，则Y的分布函数为____。
三、计算题（每题10分，共30分）
1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}。
2.设随机变量X和Y独立同分布，X的分布函数为F(x)，Y的分布函数为G(x)，求Z=X+Y的分布函数F_Z(z)。
3.设随机变量X服从区间[0,1]上的均匀分布，求E(X^2)和D(X)。
4.设随机变量X和Y相互独立，X的分布函数为F(x)，Y的分布函数为G(x)，求Z=X+Y的分布函数F_Z(z)。
5.设随机变量X和Y独立同分布，X的分布函数为F(x)，则Y的分布函数为____。
四、应用题（每题10分，共20分）
1.某商店每天上午和下午各有一批顾客购买商品，上午的顾客到店时间服从参数为λ的泊松分布，下午的顾客到店时间服从参数为μ的泊松分布。若上午顾客到达后，至少要等待5分钟才有服务员接待，则下午顾客等待服务员接待的平均时间是多少？
2.设某城市每天发生交通事故的数量X服从参数为λ的泊松分布。已知一天内发生交通事故的概率至少为0.01，求λ的最小值。
五、证明题（每题10分，共20分）
1.证明：如果随机变量X和Y独立同分布，且E(X^2)=D(X)，则E(Y^2)=D(Y)。
2.证明：如果随机变量X和Y相互独立，且E(X)=E(Y)，则E(XY)=E(X)E(Y)。
六、综合题（每题10分，共20分）
1.设随机变量X和Y独立同分布，X服从参数为λ的指数分布，求随机变量Z=X+Y的分布函数F_Z(z)。
2.某工厂生产的产品合格率为p，现从该工厂生产的产品中随机抽取n件进行检查，设X为抽检出的不合格产品数量，求X的概率质量函数。
本次试卷答案如下：
一、填空题（每空2分，共10分）
1.几何分布
2.0.06
3.F(a)
4.F(y)
5.9/4
二、选择题（每题3分，共15分）
1.(D)
2.b
3.λ
4.F(z)=F(x)G(z-x)
5.F(y)=F(x)
三、计算题（每题10分，共30分）
1.解析：
P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}=\frac{λ^2e^{-λ}}{2!}+\frac{λ^3e^{-λ}}{3!}+\frac{λ^4e^{-λ}}{4!}
=λ^2e^{-λ}(1/2!+λ/3!+λ^2/4!)
=λ^2e^{-λ}(1+λ/2+λ^2/12)
=λ^2e^{-λ}(1+1/2λ+1/12λ^2)
2.解析：
Z的分布函数F_Z(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}
当z0时，F_Z(z)=0
当z≥0时，F_Z(z)=∫_{0}^{z}F(x)G(z-x)dx
=∫_{0}^{z}F(x)[1-F(z-x)]dx
=∫_{0}^{z}F(x)dx-∫_{0}^{z}F(x)F(z-x)dx
3.解析：
E(X^2)=∫_{0}^{1}