2025年考研数学（三）模拟冲刺卷：多元函数微分法与积分法难题解析
一、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
1.设函数\(f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\)，则函数在点\((1,1)\)处的全微分\(df(1,1)\)为________。
2.设函数\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)，则函数在点\((1,1,1)\)处的梯度\(\nablaf(1,1,1)\)为________。
3.设函数\(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)，则函数在点\((0,0)\)处的一阶偏导数\(f_x(0,0)\)和\(f_y(0,0)\)分别为________。
4.设函数\(f(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2)\)，则函数在点\((1,1,1)\)处的二阶偏导数\(f_{xx}(1,1,1)\)，\(f_{yy}(1,1,1)\)和\(f_{zz}(1,1,1)\)分别为________。
5.设函数\(f(x,y)=\arctan\frac{y}{x}\)，则函数在点\((1,1)\)处的切平面方程为________。
二、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
1.设函数\(f(x,y)=x^3-3xy^2+2y^3\)，则\(f\)在点\((0,0)\)处的极值点为：
A.\((0,0)\)
B.\((1,0)\)
C.\((0,1)\)
D.无极值点
2.设函数\(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)，则\(f\)在点\((0,0)\)处的驻点为：
A.\((0,0)\)
B.\((1,0)\)
C.\((0,1)\)
D.无驻点
3.设函数\(f(x,y)=x^2+y^2\)，则\(f\)在点\((1,1)\)处的切线方程为：
A.\(y=x\)
B.\(y=-x\)
C.\(y=x+1\)
D.\(y=-x+1\)
4.设函数\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)，则\(f\)在点\((1,1,1)\)处的法向量\(\vec{n}\)为：
A.\(\{1,1,1\}\)
B.\(\{1,1,-1\}\)
C.\(\{-1,-1,1\}\)
D.\(\{-1,-1,-1\}\)
5.设函数\(f(x,y,z)=e^{x^2+y^2+z^2}\)，则\(f\)在点\((1,1,1)\)处的切平面方程为：
A.\(x+y+z=3\)
B.\(x-y-z=3\)
C.\(x+y-z=3\)
D.\(x-y+z=3\)
三、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分）
1.设函数\(f(x,y)=x^2e^y\)，求\(f\)在点\((1,0)\)处的切线方程。
2.设函数\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)，求\(f\)在点\((1,1,1)\)处的切平面方程。
3.设函数\(f(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2)\)，求\(f\)在点\((1,1,1)\)处的切平面方程。
四、证明题（本大题共1小题，共20分）
证明：设函数\(f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2xy}\)，证明在\(xy\neq-1\)的条件下，函数\(f(x,y)\)在整个平面上是连续的。
五、计算题（本大题共1小题，共20分）
计算：设函数\(f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)，求函数\(f\)在点\((1,0)\)处的全微分\(df(1,0)\)。
六、综合应用题（本大题共1小题，共20分）
设函数\(f(x,y,z)=x^2y+yz^2+xz^3\)，求：
1.函数\(f\)在点\((1,1,1)\)处的切平面方程；
2.在\(z\)